Cho hàm số bậc hai $f(x)= -x^2+4px - p + 1$ . Gọi $S$ là diện tích tam giác có các đỉnh là giao điểm của parabol $y=f(x)$ với trục $Ox$ và đỉnh của parabol ấy . Tìm tất cả các số hữu tỷ $p$ sao cho $S$ là số nguyên
.
#1
Đã gửi 07-03-2006 - 15:56
- E. Galois, Tham Lang, L Lawliet và 4 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 30-07-2012 - 10:26
Trước hết ta có công thức tính diện tích tam giác ABC với $A(x_a,y_a), B(x_b,y_b),C(x_c,y_c)$ là
$S_{ABC}=\frac{1}{2}|(x_c-x_a)(y_c-y_a)-(x_b-x_a)(y_c-y_a)|$
Đo đó trong bài toán này ta áp dụng với A là đỉnh của parabol có tọa độ $x_a=2p; y_a=4p^2-p+1$
Còn $B,C$ là giao điểm của parabol với trục $Ox$ nên $y_b=y_c=0$ còn $x_b,x_c$ là nghiệm của pt $ x^2-4px+p-1=0$
Ta có $|x_b-x_c|=2\sqrt{4p^2-p+1}$ (theo đl Viet)
Bây giờ Ta có $S_{ABC}=\frac{1}{2}|(x_c-2p)(4p^2-p+1)-(x_b-2p)(4p^2-p+1)|=\frac{1}{2}|(4p^2-p+1)(x_c-x_b)|=(4p^2-p+1)\sqrt{4p^2-p+1}$
Ta thấy rằng nếu $\sqrt{4p^2-p+1}=\frac{m}{n}$ với $(m,n)=1$ thì $S_{ABC}=\frac{m^3}{n^3} \notin \mathbb{Z}$
Do đó ta cần $4p^2-p+1=k^2$ ( với $k \in \mathbb{N}$)
xem đây là pt bậc 2 nghiệm hữu tỉ $p$ thì ta cần tìm $k$ sao cho pt có nghiệm hữu tỉ suy ra
$\Delta=16k^2-15$ là SCP tức $16k^2-15=t^2$ ($t \in \mathbb{N}$)
ta được $(4k-t)(4k+t)=15$
vì $k,t \geq 0$ và $4k >t$ nên ta chỉ xét hai trường hợp $15=3.5=1.15$ lúc này ta tìm được $k$ lần lượt bằng $k=1;k=2$ tương ứng $t=1,t=7$
thì $\Delta_1=t_1^2=1; \Delta_2=t_2^2=49$
Do đó các giá trị của $p$ cần tìm là
$p_1=0$
$p_2=4$
$p_3=1$
$p_4=-\frac{3}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi The Gunner: 30-07-2012 - 10:27
- supermember, E. Galois, perfectstrong và 21 người khác yêu thích
Những ngày cuối cùng còn học toán
winwave1995
#3
Đã gửi 30-07-2012 - 11:22
Khuyến khích các bạn THCS tham gia (Dùng tam thức bậc 2 và định lý Viète để giải!)
- E. Galois, keichan_299, Tham Lang và 5 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 30-07-2012 - 11:39
Cách giải trên là gần với THCS rồi, dùng tam thức bậc hai có vẻ lại xa đấy!Gần chuẩn rồi! Tuy nhiên cách làm không được THCS cho lắm!
Khuyến khích các bạn THCS tham gia (Dùng tam thức bậc 2 và định lý Viète để giải!)
- E. Galois và minhdat881439 thích
#5
Đã gửi 30-07-2012 - 11:40
- E. Galois, minhdat881439 và ducthinh26032011 thích
#6
Đã gửi 30-07-2012 - 11:52
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongchelsea: 30-07-2012 - 11:54
- E. Galois, hxthanh, le_hoang1995 và 2 người khác yêu thích
#7
Đã gửi 31-07-2012 - 01:17
Có chút nhầm lẫn! Các giá trị $p$ cần tìm là $0,\dfrac{1}{4},1,-\dfrac{3}{4}$...
$p_1=0$
$p_2=4$
$p_3=1$
$p_4=-\frac{3}{4}$
Bài này chưa cần phải áp dụng công thức tính diện tích tam giác bằng phương pháp vecto như trên, bởi vì các đỉnh của tam giác quá đặc biệt!
Gọi $A$, $B$ là các điểm giao của parabol với trục hoành
$C$ là đỉnh của parabol, đường cao $CH$ song song với $Oy$
Như vậy $CH=\max f(x)$
Ta có: $f(x)=ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a}\le -\dfrac{\Delta}{4a}=CH$ với $(a<0)$
$AB=\left|x_2-x_1\right|=-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{a} \quad $ (Viète)
Do đó $S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2} AB.CH=\dfrac{\Delta\sqrt{\Delta}}{8a^2}$
Với $f(x)=-x^2+4px-p+1$ thì ta có $\Delta=4(4p^2-p+1)$ và $a=-1$
Suy ra:
$S_{\triangle ABC}=(4p^2-p+1)\sqrt{4p^2-p+1}$
Tới đây thì tiếp tục như The Gunner
- E. Galois, CD13, perfectstrong và 6 người khác yêu thích
#8
Đã gửi 31-07-2012 - 14:24
Cho hàm số bậc hai $f(x)= -x^2+4px - p + 1$ . Gọi $S$ là diện tích tam giác có các đỉnh là giao điểm của parabol $y=f(x)$ với trục $Ox$ và đỉnh của parabol ấy . Tìm tất cả các số hữu tỷ $p$ sao cho $S$ là số nguyên
.
Xin chế bài thành bài sau:
1.Cho hàm số bậc hai $f(x)= -x^2+4px - p + 2012$ . Gọi $S$ là diện tích tam giác có các đỉnh là giao điểm của parabol $y=f(x)$ với trục $Ox$ và đỉnh của parabol ấy . Tìm tất cả các số hữu tỷ $p$ sao cho $S$ là số nguyên.
2.Cho hàm số bậc hai $f(x)= ax^2+bx+\frac{2013}{a}$($a\neq 0;a \in Q$) . Gọi $S$ là diện tích tam giác có các đỉnh là giao điểm của parabol $y=f(x)$ với trục $Ox$ và đỉnh của parabol ấy . Tìm tất cả các số nguyên $b$ sao cho $S$ là hữu tỷ
_________________________________
hxthanh: mở rộng 2 tìm $p$ nào vậy em? ^^
hoangtrunghieu22101997: Đã sửa
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrunghieu22101997: 31-07-2012 - 20:31
- E. Galois, perfectstrong, hxthanh và 2 người khác yêu thích
Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.
#10
Đã gửi 05-01-2013 - 22:32
Với mỗi p.doc 21.5K 212 Số lần tải
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranxuantu1995: 05-01-2013 - 22:37
- tramyvodoi yêu thích
Toán học là tính toán, là học toán và làm toán!
#11
Đã gửi 20-12-2014 - 16:20
bai nay de danh cho hs gioi lop 1
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: psw
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Tích phân - Nguyên hàm →
$\int f(\lfloor x\rfloor)dx…$Bắt đầu bởi hxthanh, 20-07-2022 psw |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
Bài toán đáp lễ supermember $\mathbb{F}_n(x)=...$Bắt đầu bởi hxthanh, 13-07-2022 supermember, psw |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức →
$\sum_{k=1}^n k^n{n\choose k}=?$Bắt đầu bởi dark templar, 17-11-2012 psw |
|
|||
|
Cửa sổ Diễn Đàn Toán Học →
Những sự kiện đã kết thúc →
Thi đấu giải Toán →
Những bài toán trong tuần →
[Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (1 - 100)Bắt đầu bởi T*genie*, 30-07-2012 psw |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Các bài toán Đại số khác →
Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có ba điểm uốn thẳng hàng: $y = \dfrac{{2x - 1}}{{x^2 - x + 1}}$Bắt đầu bởi Thanh Ha, 23-05-2009 psw |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh