2 replies to this topic

[hoangmanhquan]

Cho $a,b,c>0$. Cmr:

$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)$

[lahantaithe99]

Cho $a,b,c>0$. Cmr:

$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)$

 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki

 

$3(a^2+2)(1+\frac{(b+c)^2}{2})\geqslant 3(a+b+c)^2\geqslant 9(ab+bc+ac)$

 

Cần cm $(b^2+2)(c^2+2)\geqslant 3(1+\frac{(b+c)^2}{2})$

 

$\Leftrightarrow b^2c^2+1+\frac{b^2+c^2}{2}\geqslant 3bc$ (luôn đúng theo $AM-GM$)

 

Vậy ta có đpcm

[Kaito Kuroba]

Cho $a,b,c>0$. Cmr:

$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)$

Một cách khác:

 

$$VT=a^2b^2c^2+4(a^2+b^2+c^2)+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+8

=(a^2b^2c^2+1)+(a^2+b^2+c^2)+1+2[(a^2b^2+1)+(b^2c^2+1)+(c^2a^2+1)]$$ $$+3(a^2+b^2+c^2)\geq 2abc+(a^2+b^2+c^2)+1+4(ab+bc+ca)+3(ab+bc+ca)\geq 9(ab+bc+ca)$$

Edited by Kaito Kuroba, 19-05-2014 - 21:50.