Trung sĩ
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
$\sum {\frac{1}{{a(b + 1)}}} \ge \frac{3}{{\sqrt[3]{{abc}}\left( {1 + \sqrt[3]{{abc}}} \right)}}$
@Mod: Chú ý cách đặt tiêu đề
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyentiendung9372: 21-05-2014 - 20:52
Trung úy
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
$\sum {\frac{1}{{a(b + 1)}}} \ge \frac{3}{{\sqrt[3]{{abc}}\left( {1 + \sqrt[3]{{abc}}} \right)}}$
@Mod: Chú ý cách đặt tiêu đề
Đổi biến đặt $a=\frac{mx}{y};b=\frac{my}{z};c=\frac{mz}{x}$ (với $m$ là số nguyên dương tùy ý)
Khi đó BĐT cần chứng minh viết lại thành
$\frac{x}{y+mz}+\frac{y}{z+mx}+\frac{z}{x+my}\geqslant \frac{3}{m+1}$
BĐT này luôn đúng vì theo BĐT S.Vac ta có
$\sum \frac{x}{y+mz}\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{(m+1)(xy+yz+xz)}\geqslant \frac{3}{m+1}$
Vậy ta có đpcm
Trung úy
Đổi biến đặt $a=\frac{mx}{y};b=\frac{my}{z};c=\frac{mz}{x}$ (với $m$ là số nguyên dương tùy ý)
Khi đó BĐT cần chứng minh viết lại thành
$\frac{x}{y+mz}+\frac{y}{z+mx}+\frac{z}{x+my}\geqslant \frac{3}{m+1}$
BĐT này luôn đúng vì theo BĐT S.Vac ta có
$\sum \frac{x}{y+mz}\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{(m+1)(xy+yz+xz)}\geqslant \frac{3}{m+1}$
Vậy ta có đpcm
Bạn có pp gì chỗ này không ? Chứ mình cũng có thể đặt khác mà !
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -
Trung úy
Bạn có pp gì chỗ này không ? Chứ mình cũng có thể đặt khác mà !
Đặt thế để cho nó đơn giản biểu thức đi
Thiếu úy
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
$\sum {\frac{1}{{a(b + 1)}}} \ge \frac{3}{{\sqrt[3]{{abc}}\left( {1 + \sqrt[3]{{abc}}} \right)}}$
@Mod: Chú ý cách đặt tiêu đề
Mình xin có cách sau:
Áp dụng bất đẳng thức holder có
$(a+1)(1+b)(1+c)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3$
Áp dụng bất đẳng thức $(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)$ và kết hợp bất đẳng thức trên có
$\left [ \sum \frac{1}{a(b+1)} \right ]^2\geq 3(\sum \frac{1}{ab(1+b)(1+c)})=\frac{3(a+b+c+ac+bc+ac)}{abc(a+1)(b+1)(c+1)}=\frac{3}{abc}-\frac{3(abc+1)}{abc(a+1)(b+1)(c+1)}\geq \frac{3}{abc}-\frac{3(abc+1)}{abc(1+\sqrt[3]{abc})^3}=3.\frac{3\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}{abc(1+\sqrt[3]{abc})^3}=\frac{9}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}(1+\sqrt[3]{abc})^2}$
Khai căn hai vế ta ra điều phải chứng minh rồi nhé!
Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi
(Albert Einstein)Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học
Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
Tại đây
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
