Bộ giáo dục và đào tạo Cộng Hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Độc Lập- Tự do -Hạnh phúc
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2014
Môn thi: Toán chung
Câu 1:(2 điểm): Cho các số thực dương $a,b$ với $a\neq b$.Chứng minh đẳng thức sau:
$$\dfrac{\dfrac{(a-b)^3}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^3}-b\sqrt{b}+2a\sqrt{a}}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}+\dfrac{3a+3\sqrt{ab}}{b-a}=0$$
Câu 2 (2 điểm) Cho quãng đường $AB$ dài $120$ km.Lúc 7 h sáng, một xe máy đi từ A đến B. Đi được $\dfrac{3}{4}$ quãng đường xe bị hỏng phải dừng lại sửa mất 10 phút rồi đi tiếp đến B với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đầu $10$ km/h. Biết xe máy đến B lúc $11$ giờ $40$ phút trưa cùng ngày. Giả sử vận tốc của xe máy trên $\dfrac{3}{4}$ quãng đường ban đầu không thay đổi và vận tốc của xe máy trên $\dfrac{1}{4}$ quãng đường còn lại cũng không thay đổi. hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ.
Câu 3 (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P) :y=x^2$ và đường thẳng $d: y=\dfrac{-2}{3}(m+1)x+\dfrac{1}{3}$ (với m là tham số )
1.Chứng minh rằng với mỗi giá trị của $m$ đường thẳng $d$ cắt parabol $(P)$ tại 2 điểm phân biệt.
2. Gọi $x_1,x_2$ là hoành dộ các giao điểm của $d$ và $(P)$, đặt $f(x)=x^3+(m+1)x^2-x$
Chứng minh đẳng thức $f(x_1)-f(x_2)=\dfrac{-1}{2}(x_1-x_2)^3$
Câu 4 (3 điểm) Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kính $AC=2R$.Gọi $K$ và $M$ theo thứ tự là chân các đường cao hạ từ $A$ và $C$ xuống $BD$, $E$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, biết $K$ thuộc đoạn $BE$ ($K \neq B$,$K\neq E$).Đường thẳng qua $K$ song song với $BC$ cắt $AC$ tại $P$.
1. Chứng minh tứ giác $AKPD$ nội tiếp
2. Chứng minh $KP\perp PM$
3. Biết $\widehat{ABD}=60^{\circ}$ và $AK=x$.Tính $BD$ theo $R$ và $x$.
Câu 5 (1 điểm) Giải phương trình
$$\dfrac{x(x^2-56)}{4-7x}-\dfrac{21x+22}{x^3+2}=4$$
-------------------------------------------Hết-------------------------------------------
Câu 1 :
Đặt $\sqrt{a}=x ; \sqrt{b}=y(x,y> 0)$ . Khi đó $a=x^2;b=y^2(x^2,y^2>0)$
và $x^2+xy+y^2>0$ ; $x+y>0$ ; $x-y\neq 0$
Đẳng thức cần chứng minh tương đương :
$\frac{\frac{(x^2-y^2)^3}{(x-y)^3}-y^3+2x^3}{x^3-y^3}+\frac{3x^2+3xy}{y^2-x^2}=0$
$\Leftrightarrow \frac{(x+y)^3-y^3+2x^3}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}+\frac{3x^2+3xy}{y^2-x^2}=0$
$\Leftrightarrow \frac{3x(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}+\frac{3x(x+y)}{(y-x)(y+x)}=0$
$\Leftrightarrow\frac{3x}{x-y}+\frac{3x}{-(x-y)}=0$
$\Leftrightarrow 0=0$ ( luôn đúng )
Vậy đẳng thức đã cho được chứng minh
Câu 2 :
Gọi $v_1(km/h)$ là vận tốc của xe máy trên $\frac{3}{4}$ quãng đường đầu
Khi đó $v_1 - 10 (km/h)$ là vận tốc của xe máy trên $\frac{1}{4}$ quãng đường còn lại
Điều kiện : $v_1 - 10 > 0$ hay $v_1 > 10$
Thời gian để xe máy đi hết $\frac{3}{4}$ quãng đường đầu là $\frac{90}{v_1}(h)$
Thời gian để xe máy đi hết $\frac{1}{4}$ quãng đường còn lại là $\frac{30}{v_1-10}(h)$
Thời gian xe máy dừng lại để sửa là : $\frac{1}{6}(h)$
Theo đề bài , tổng thời gian xe máy đi từ A đến B ( tính cả thời gian dừng lại để sửa ) là : $\frac{14}{3}(h)$
Từ đó ta được pt : $\frac{90}{v_1}+\frac{30}{v_1-10}+\frac{1}{6}=\frac{14}{3}$
$ \Leftrightarrow \frac{90v_1-900+30v_1}{v_1(v_1-10)}=\frac{9}{2} $
$\Leftrightarrow 9v_1^2-330v_1+1800=0$
$\Leftrightarrow 9(v_1-30)(v_1-\frac{20}{3})=0$
$\Leftrightarrow v_1=30 $ hoặc $ v_1=\frac{20}{3}$
Do điều kiện $v_1>10$ nên nghiệm $v_1=\frac{20}{3}$ bị loại và nghiệm $v_1=30$ thoả mãn
Vậy $v_1=30(km/h)$
Thời gian để xe máy đi hết $\frac{3}{4}$ quãng đường đầu là : $\frac{90}{v_1}=\frac{90}{30}=3(h)$
Vì thời điểm xe máy bị hỏng cũng là thời điểm xe máy vừa đi hết $\frac{3}{4}$ quãng đường đầu nên xe máy bị hỏng lúc : $7h + 3h = 10h $
Kết luận : Xe máy bị hỏng lúc $10h$ sáng cùng ngày
Câu 3 :
$a)$ Xét pt hoành độ giao điểm của parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$ :
$ x^2=\frac{-2}{3}(m+1)x+\frac{1}{3} (1) $
$ \Leftrightarrow x^2+\frac{2}{3}(m+1)x-\frac{1}{3}=0 $
$ \Leftrightarrow 3x^2+ 2(m+1)x-1=0$
Xét $\Delta ' = (m+1)^2-3(-1)=(m+1)^2+3 > 0$ với mọi $m$
$\Rightarrow$ $pt (1)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$
$\Rightarrow$ Đường thằng $(d)$ và parabol $(P)$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt với mọi $m$ ( đpcm )
$b)$ Xét $f(x_1)-f(x_2)=x_1^3+(m+1)x_1^2-x_1-x_2^3-(m+1)x_2^2+x_2$
$=(x_1^3-x_2^3)-(x_1-x_2)+(m+1)(x_1^2-x_2^2)$
$=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)-(x_1-x_2)+(m+1)(x_1-x_2)(x_1+x_2)$
$=(x_1-x_2)[x_1^2+x_1x_2+x_2^2-1+(m+1)(x_1+x_2)]$
Áp dụng định lý Vi-ét cho pt $(1)$ với 2 nghiệm $x_1;x_2$ , ta được :
$\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{-2(m+1)}{3} (2) & \\ x_1x_2=\frac{-1}{3} & \end{matrix}\right.$
Từ $(2)$ suy ra : $ m+1=\frac{-3}{2}(x_1+x_2) $
Ta có : $ x_1^2+x_1x_2+x_2^2-1+(m+1)(x_1+x_2) $
$=(x_1+x_2)^2-x_1x_2-1-\frac{3}{2}(x_1+x_2)^2$
$=\frac{-1}{2}(x_1+x_2)^2-\frac{2}{3}$
$=\frac{-1}{2}[(x_1-x_2)^2+4x_1x_2]-\frac{2}{3}$
$=\frac{-1}{2}[(x_1-x_2)^2-\frac{4}{3}]-\frac{2}{3}$
$=\frac{-1}{2}(x_1-x_2)^2$
Do đó $f(x_1)-f(x_2)= \frac{-1}{2}(x_1-x_2)^2(x_1-x_2)$
$= \frac{-1}{2}(x_1-x_2)^3$ ( đpcm )
Câu 4 :
$a)$ Ta có $\widehat{DKP}=\widehat{DBC}$ ( 2 góc đồng vị )
$=\widehat{DAC}$ ( vì $ABCD$ nội tiếp )
Từ đó : $\widehat{DKP}=\widehat{DAC}$ $\rightarrow$ tứ giác $DAKP$ nội tiếp
$b)$ Ta có $AKPD$ nội tiếp nên : $\widehat{APD}=\widehat{AKD}=90^{\circ}$
Vì $AKPD$ nội tiếp nên : $\widehat{APK}=\widehat{ADB}$
$=90^{\circ}-\widehat{MDC}$
$=(\widehat{MDC}+\widehat{MCD})-\widehat{MDC}$
$=\widehat{MCD}$
Tứ giác $MDCP$ có $\widehat{DCM}=\widehat{DPC}=90^{\circ}$ nên là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{MCD}=\widehat{MPD}$
Do đó : $\widehat{APK}=\widehat{MPD}$
$\Leftrightarrow \widehat{APK}+\widehat{APM}=\widehat{MPD}+\widehat{APM}$
$\Leftrightarrow \widehat{KPM}=\widehat{APD}$
Mà $\widehat{APD}=90^{\circ}(cmt)$ $\Rightarrow \widehat{KPM}=90^{\circ}$
Vậy $KP$ vuông góc $PM$ ( đpcm )
Câu 5 :
Điều kiện xác định : $x\neq \frac{4}{7};x\neq \sqrt[3]{-2}$
Với điều kiện trên , pt đã cho tương đương :
$x(x^2-56)(x^3+2)-(21x+22)(4-7x)=4(4-7x)(x^3+2)$
$\Leftrightarrow x^6-28x^4-14x^3+147x^2+14x-120=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(x+1)(x-2)(x+3)(x+4)(x-5)=0$
$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=-1$ hoặc $x=2$ hoặc $x=-3$ hoặc $x=-4$ hoặc $x=5$
Nhận thấy các nghiệm tìm được đều thỏa mãn điều kiện xác định nên pt đã cho có nghiệm $x$ là : $\pm 1 ; 2 ; -3 ; -4 ; 5$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 05-06-2014 - 22:41