$a,b,c> 0,ab+bc+ca=1$
CMR:$\sum \sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}\leqslant \frac{1}{abc}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SPhuThuyS: 09-06-2014 - 17:36
$a,b,c> 0,ab+bc+ca=1$
CMR:$\sum \sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}\leqslant \frac{1}{abc}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SPhuThuyS: 09-06-2014 - 17:36
$a,b,c> 0,ab+bc+ca=1$
CMR:$\sum \sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}\leqslant \frac{1}{abc}$
Có: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geqslant \frac{(a+b+c)^{3}}{9}$
Do đó: $VT\leqslant \sqrt[3]{9(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+6(a+b+c))}=\sqrt[3]{9.\frac{1+6abc(a+b+c)}{abc}}\leqslant \sqrt[3]{.\frac{27}{abc}}\leqslant \frac{1}{abc}$ (do $abc\leqslant \frac{1}{3\sqrt{3}}$)
Có: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geqslant \frac{(a+b+c)^{3}}{9}$
Do đó: $VT\leqslant \sqrt[3]{9(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+6(a+b+c))}$ $=\sqrt[3]{9.\frac{1+6abc(a+b+c)}{abc}}\leqslant \sqrt[3]{.\frac{27}{abc}}$ $\leqslant \frac{1}{abc}$ (do $abc\leqslant \frac{1}{3\sqrt{3}}$)
Đoạn đỏ là sao ạ?
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
Đoạn đỏ là sao ạ?
$3abc(a+b+c)\leqslant (ab+bc+ca)^{2}=1$
$a,b,c> 0,ab+bc+ca=1$
CMR:$\sum \sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}\leqslant \frac{1}{abc}$
Lời giải. $\text{Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được:}$ $\sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}=\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{3.9bc(1+6ab)}{abc}}\leqslant \frac{1}{3}.\frac{3+9bc+(1+6ab)}{3\sqrt[3]{abc}}$
$\text{Tương tự rồi cộng lại, ta được:}$ $\sum \sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}\leqslant \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}$
$\text{Mà}$ $1=ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow \sqrt[3]{abc}\geqslant 3abc$
$\text{Vậy}$ $\sum \sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}\leq \frac{1}{abc}(Q.E.D)$
$\text{Đẳng thức xảy ra khi}$ $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 17-05-2021 - 09:28
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Chứng minh rằng $x=y$Bắt đầu bởi rainfly22, 10-04-2015 aaaaa |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh