Chủ đề này có 3 trả lời

[SuperMaths]

a,b,c $\geq$ 0 ,ab+bc+ca=1

min $\sum \frac{1}{a+b}$

[tap lam toan]

.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tap lam toan: 18-06-2014 - 14:37

[luuvanthai]

a,b,c $\geq$ 0 ,ab+bc+ca=1

min $\sum \frac{1}{a+b}$

Cách 2/dự đoán min =$\frac{5}{2}$,sau đó biến đổi tương đương

CM $\sum \frac{1}{b+c}\geq \frac{5}{2}\Leftrightarrow \frac{\sum (a+c)(a+b)}{\prod (b+c)}\geq \frac{5}{2}\Leftrightarrow 2(a+b+c)^{2}+5abc+2\geq 5\left [ (a+b+c)(ab+ac+bc) -abc\right ]$

$\Leftrightarrow 2(a+b+c)^{2}+5abc+2\geq 5(a+b+c)$

Đến đây ta nhớ lại 1 bổ đề 

Với $ab+bc+ac=1\rightarrow a+b+c+\frac{5}{3}abc\geq 2(*)$(dấu = xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,0)$)

Thật vậy thay $c=\frac{1-ab}{a+b}$ thì $(*)\Leftrightarrow \frac{1-ab}{a+b}(1+\frac{5}{3}ab)\geq 2-a-b\Leftrightarrow ab(2-5ab)+3(a+b-1)^{2}\geq 0$ (luôn đúng vì ta có thể gs $ab=min\left \{ ab,bc,ac \right \}\rightarrow ab\leq \frac{1}{3}$)

Do đó $5(a+b+c)\geq 6-3(a+b+c)$ và ta chỉ cần cm

$2(a+b+c)^{2}+6-3(a+b+c)+2\geq 5(a+b+c)\Leftrightarrow 2(a+b+c-2)^{2}\geq 0$(lđ)

Dấu = xảy ra khi 1 số =0,2 số =1

[KietLW9]

a,b,c $\geq$ 0 ,ab+bc+ca=1

min $\sum \frac{1}{a+b}$

Ta sẽ chứng minh: $(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})^2\geqslant \frac{25}{4}+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}+\frac{4(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geqslant \frac{9}{4}+\frac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2})+\frac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geqslant \frac{9}{4}+\frac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2})\geqslant \frac{9}{4}$

Đây là bất đẳng thức Iran 96!