2 replies to this topic

[nguyenhongsonk612]

Cho $a,b,c$ là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

$(a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2 \geq (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)$
P/s: Sử dụng BĐT $AM-GM$.

Edited by nguyenhongsonk612, 30-06-2014 - 21:23.

[lahantaithe99]

Cho $a,b,c$ là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

$(a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2 \geq (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)$
P/s: Sử dụng BĐT $AM-GM$.

 

Đặt $(a+b-c,b+c-a,c+a-b)=(x,y,z)$

 

Khi đó $a=\frac{x+z}{2};b=\frac{x+y}{2};c=\frac{y+z}{2}$

 

BĐT quy về chứng minh

 

$8x^2y^2z^2\geqslant (x^2+xy+xz-yz)(y^2+xy+yz-xz)(z^2+xz+yz-xy)$

 

Chuẩn hóa $x+y+z=3$

 

BĐT cần chứng minh trở thành $8x^2y^2z^2\geqslant (3x-yz)(3y-xz)(3z-xy)$

 

Nhân tung tóe ra thì ta đưa về dạng

 

$9(xyz)^2+9(xy+yz+xz)^2+6xyz(xy+yz+xz)\geqslant 108xyz$

 

BĐT này đã được chứng minh tại

 

http://diendantoanho...o-abc0-và-abc3/

 

Vậy nên ta có đpcm 

 

-----------------------------------------------

P/s: thực ra mình đăng bài toán trên là để phục vụ việc chứng minh bài toán của nguyenhongsonk612, nhưng lại bị tắc ở phần chứng minh đó. Cứ ngỡ chuẩn hóa $x+y+z=3$ sẽ làm cho BĐT được xử lí gọn và nhanh hơn nhưng không ngờ các bạn chứng minh được bài đó lại quy về thay $3=x+y+z$ 

[tap lam toan]

Cho $a,b,c$ là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

$(a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2 \geq (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)$
P/s: Sử dụng BĐT $AM-GM$.

 

Lần lượt xét trường hôp $\left ( a^{2},b^{2},c^{2} \right )$ ko phải là 3 cạnh của một tam giác, khi đó bài toán hiển nhiên đúng.

Xét trường hợp $\left ( a^{2},b^{2},c^{2} \right )$ là ba cạnh của tam giác. Ta chứng minh
$$\left [ a^{2}-\left ( b-c \right )^{2} \right ]^{2}\geq \left ( a^{2}+b^{2}-c^{2} \right )\left ( a^{2}+c^{2}-b^{2} \right )\Leftrightarrow \left ( b-c \right )^{2}\left ( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right )\geq 0$$
Xây dựng đánh giá tương tự và ta có đpcm