$(x-1)^2\left [1+2x+3x^2+...+(n+1)x^n \right ]=1$
#1
Đã gửi 18-03-2006 - 22:00
$$(x-1)^2\left [1+2x+3x^2+...+(n+1)x^n \right ]=1$$
Trong đó $n$ là số nguyên dương.
- Mai Duc Khai và caybutbixanh thích
#2
Đã gửi 10-03-2013 - 17:40
Có 2 cách:
1. Nhân bung hết ra! Nhóm các thừa số cùng bậc rồi triệt tiêu hết!
Nghiệm: $x= 0 or x=\frac{x+2}{x+1}$
2. Đặt $S= 1+2x+3x^{2}+4x^{3}+...+(n+1)x^{n}$ thì:
$S.x= x+2x^{2}+3x^{3}+4x^{4}+...+(n+1)x^{n+1}$
Do vậy:
$S.(1-x)= 1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+...+x^{n+1}$
Do đó: $S.(1-x)^{2}= x^{n+1}-$
#3
Đã gửi 10-03-2013 - 23:07
Nhận thấy $x=1$ không là nghiệm phương trình.Giải phương trình:
$$(x-1)^2\left [1+2x+3x^2+...+(n+1)x^n \right ]=1$$
Trong đó $n$ là số nguyên dương.
Ta có: \[x + {x^2} + \cdots + {x^{n + 1}} = x\left( {1 + x + {x^2} + \cdots {x^n}} \right) = \frac{{x\left( {1 - {x^{n + 1}}} \right)}}{{1 - x}}\]
Nên \[ \Rightarrow 1 + 2x + \cdots + \left( {n + 1} \right){x^2} = \left( {\frac{{x - {x^{n + 1}}}}{{1 - x}}} \right)' = \frac{{\left[ {1 - \left( {n + 1} \right){x^n}} \right]\left( {1 - x} \right) + x\left( {1 - {x^n}} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\]
Nên phương trình đã cho trở thành:
\[\left[ {1 - \left( {n + 1} \right){x^n}} \right]\left( {1 - x} \right) + x\left( {1 - {x^n}} \right) = 1\]
\[ \Leftrightarrow - \left( {n + 1} \right){x^n} + n{x^{n + 1}} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \\
x = \frac{{n + 1}}{n} \\
\end{array} \right.\]
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $x=0;x=\dfrac{n+1}{n}$
- Mai Duc Khai, Mai Xuan Son và DarkBlood thích
#4
Đã gửi 06-04-2013 - 16:46
Giải phương trình:
$$(x-1)^2\left [1+2x+3x^2+...+(n+1)x^n \right ]=1$$
Trong đó $n$ là số nguyên dương.
____________________
Bây giờ thì xét 2 TH:
Nếu $x=1$ thì PT vô nghiệm do $VT=0,VP=1$
Nếu $x \neq 1$ thì PT tương đương với:
$$x^{n+1}(x+xn-n-2)+1=1 \\ \Leftrightarrow x^{n+1}(x+xn-n-2)=0 \\ \Leftrightarrow \left\{x=0,x=\frac{n+2}{n+1}\right\}$$
____________________
Anh PSW ơi, bạn kia làm khác kết quả của em ...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 06-04-2013 - 16:49
- hxthanh yêu thích
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh