Chủ đề này có 4 trả lời

[nhc156]

Cho hàm số: \[f(x,y) = \frac{{{x^3}y}}{{{x^6} + {y^2}}},{x^2} + {y^2} \ne 0\]

 

\[f(x,y) = 0,{x^2} + {y^2} = 0\]

 

Chứnh minh hàm số đã cho gián đoạn tại \[\left( {0;0} \right)\]

Nhưng có các đạo hàm riêng tại điểm \[\left( {0;0} \right)\]

 

[fghost]

Cho hàm số: \[f(x,y) = \frac{{{x^3}y}}{{{x^6} + {y^2}}},{x^2} + {y^2} \ne 0\]

 

\[f(x,y) = 0,{x^2} + {y^2} = 0\]

 

Chứnh minh hàm số đã cho gián đoạn tại \[\left( {0;0} \right)\]

Nhưng có các đạo hàm riêng tại điểm \[\left( {0;0} \right)\]

Tiêu đề của bạn có lẽ nên bao gồm cả hàm số cụ thể vào đó. Thí dụ:

CM: $\frac{x^3y}{x^6+y^2}$ gián đoạn nhưng có đạo hàm riêng tại $(0,0)$

 

Để CM 1 hàm số gián đoạn tại đâu đó, ta cần cho thấy $\lim f$ khác với giá trị của hàm số tại điểm đó, hay giới hạn không tồn tại.

 

Vì vậy, ta chỉ cần cho thấy $\lim f \ne 0$ trong trường hợp này. Đầu tiên, với những dạng giới hạn thế này, ta thường thử với 1 vài đường cơ bản, để xem giá trị là bao nhiêu. Dể thấy, với $x=0$, $y=0, x=y, y=x^2, x=y^2$ ta đều có giá trị là $0$. Vẫn chưa cho thấy gì cả. Nhận thấy ta có $x^3$ và $y$ ở tử, cũng như $x^6$ và $y^2$ ở mẫu.Thử xem với $y=x^3$, thì giới hạn sẽ ra kết quả bao nhiêu? Nếu mình nhẩm không nhầm thì ta được kết quả là $1/2$. Vì vậy cho thấy, giới hạn của hàm số không thể bằng $0$ được. Nên hàm gián đoạn.

 

Để CM hàm này có đạm hàm riêng tại $(0,0)$ thì ta chỉ cần đi tìm đao hàm riêng của nó. Theo định nghĩa của đạo hàm riêng tại $(0,0)$ ta có

$$f_x(0,0)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{0-0}{h}=0$$

Tương tự cho biến $f_y$.

[nhc156]

Mình không có cách xét tính liên tục nào tổng quát sao bạn. Ko lẻ tính lim mình cứ nhẩm tìm hàm như thế. Đại loại như một số quy tắc xét lim (như hàm 1 biến). Cám ơn bạn.

[fghost]

Có chứ bạn, hướng mình làm là tìm $\lim$ đó chứ. Chỉ là $\lim$ của hàm nhiều biến không có 1 phương pháp thần kì nào có thể tìm hết mọi $\lim$ (đối với hàm 1 biến thì việc tìm $\lim$ đơn giản hơn đối với hàm nhiều biến).

[Mrnhan]

Vào lúc 17 Tháng 7 2014 - 00:13, nhc156 đã nói:

 

Cho hàm số: $$f(x,y) = \left\{\begin{matrix}\frac{{{x^3}y}}{{{x^6} + {y^2}}},\,(x,y)\neq(0,0)\\ 0,\, (x,y)= (0,0)\end{matrix}\right.$$

 

Chứng minh hàm số đã cho gián đoạn tại \[\left( {0;0} \right)\]

 

Nhưng có các đạo hàm riêng tại điểm \[\left( {0;0} \right)\]

 

LG.

 

Chứng minh gián đoạn.

 

$$\lim_{(x, y)\to (0,0)}\frac{x^3y}{x^6+y^2}=\lim_{y=kx^3,\, x\to 0}\frac{kx^6}{x^6+k^2x^6}=\frac{k}{1+k^2}\to \text{Giới hạn không tại nên gián đoạn}$$

 

Chứng minh có đạo hàm riêng.

 

$$f'_x(0,0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=0$$

 

$$f'_y(0,0)=\lim_{y\to 0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}=0$$