Chủ đề này có 6 trả lời

[Mikhail Leptchinski]

Cho $x$ là số thực thỏa mãn $x+\frac{1}{x}\in Z$.Chứng minh rằng:$x^n+\frac{1}{x^n}\in Z$ với $n$ là số nguyên dương

[Mikhail Leptchinski]

Lời giải của mình nhé.Mong các bạn kiểm tra và xem hộ ,nếu bạn nào có cách khác thì làm để mình mở rộng tầm mắt.

Với $n=1$ thỏa mãn

Với $n=2$ thỏa mãn

Đặt $A(n)=x^n+\frac{1}{x^n}$(với n$n\geq 1$)

Gỉa sử $A(n),A(n+1)\in Z$.Ta phải chứng minh $A(n+2)\in Z$

Biến đổi $A(n+2)=A(n+1).(x+\frac{1}{x})-A(n)$ 

=> điều phải chứng minh

[hoctrocuaZel]

Cho $x$ là số thực thỏa mãn $x+\frac{1}{x}\in Z$.Chứng minh rằng:$x^n+\frac{1}{x^n}\in Z$ với $n$ là số nguyên dương

Dùng quy nạp là OK.

*) Chứng minh $x=1$ (đúng vì gt). $x=2$ thì $x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$ là số nguyên.

Gs: $x^k+\frac{1}{x^k}$ nguyên. CMR: $x^{k+1}+\frac{1}{x^{k+1}}$ nguyên.

Thật vậy, $x^{k+1}+\frac{1}{x^{k+1}}=(x+\frac{1}{x})(x^k+\frac{1}{x^k})-x^{k-1}-\frac{1}{x^{k-1}}$ nguyên.

Vậy ta có đpcm.

[Mikhail Leptchinski]

Dùng quy nạp là OK.

*) Chứng minh $x=1$ (đúng vì gt). $x=2$ thì $x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$ là số nguyên.

Gs: $x^k+\frac{1}{x^k}$ nguyên. CMR: $x^{k+1}+\frac{1}{x^{k+1}}$ nguyên.

Thật vậy, $x^{k+1}+\frac{1}{x^{k+1}}=(x+\frac{1}{x})(x^k+\frac{1}{x^k})-x^{k-1}-\frac{1}{x^{k-1}}$ nguyên.

Vậy ta có đpcm.

Vẫn giống cách mình mà mình cũng dùng quy nạp 

[hoctrocuaZel]

Vẫn giống cách mình mà mình cũng dùng quy nạp 

Cách bạn đúng rồi đó. (Mình gõ Latex hơi chậm) :3.

Cách đó đúng.

[Mikhail Leptchinski]

Cách bạn đúng rồi đó. (Mình gõ Latex hơi chậm) :3.

Cách đó đúng.

Bạn còn cách khác không

[hoctrocuaZel]

Bạn còn cách khác không

Quy nạp là cách nhanh nhất. Kg còn cách gì hết nữa. :3