8 replies to this topic

[Dinh Xuan Hung]

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng:$\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3}\leq \sqrt[3]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}}$

[Viet Hoang 99]

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng:$\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3}\leq \sqrt[3]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}}$

Bài toán tổng quát luôn:
 

 

Vói $a_1;a_2;...;a_n>0$. Cmr:
$$\frac{a_1+\sqrt{a_1a_2}+\sqrt[3]{a_1a_2a_3}+...+\sqrt[n]{a_1a_2..a_n}}{n}\leq \sqrt[n]{\frac{a_1(a_1+a_2)(a_1+a_2+a_3)...(a_1+a_2+...+a_n)}{n!}}$$

[quangnghia]

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng:$\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3}\leq \sqrt[3]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}}$

$\sqrt[3]{\frac{2a}{a+b}.\frac{3a}{a+b+c}}\leq \frac{1+\frac{2a}{a+b}+\frac{3a}{a+b+c}}{3}$

$\sqrt[3]{\frac{3b}{a+b+c}}\leq \frac{1+1+\frac{3b}{a+b+c}}{3}$

$\sqrt[3]{\frac{2b}{a+b}.\frac{3c}{a+b+c}}\leq \frac{1+\frac{2b}{a+b}+\frac{3c}{a+b+c}}{3}$

Cộng theo vế ta được:

$\sqrt[3]{\frac{2}{a+b}.\frac{3}{a+b+c}}(a+\sqrt[3]{ab(\frac{a+b}{2})}+\sqrt[3]{abc})\leq 3\sqrt[3]{a}$

$\Rightarrow \sqrt[3]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}}\geq \frac{a+\sqrt[3]{ab.\frac{a+b}{2}}+\sqrt[3]{abc}}{3}\geq \frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3}$

Bài toán kết thúc

Edited by quangnghia, 02-08-2014 - 21:01.

[Viet Hoang 99]

$\sqrt[3]{\frac{2a}{a+b}.\frac{3a}{a+b+c}}\leq \frac{1+\frac{2a}{a+b}+\frac{3c}{a+b+c}}{3}$

$\sqrt[3]{\frac{3b}{a+b+c}}\leq \frac{1+1+\frac{3b}{a+b+c}}{3}$

$\sqrt[3]{\frac{2b}{a+b}.\frac{3c}{a+b+c}}\leq \frac{1+\frac{2b}{a+b}+\frac{3c}{a+b+c}}{3}$

Cộng theo vế ta được:

$\sqrt[3]{\frac{2}{a+b}.\frac{3}{a+b+c}}(a+\sqrt[3]{ab(\frac{a+b}{2})}+\sqrt[3]{abc})\leq 3\sqrt[3]{a}$

$\Rightarrow \sqrt[3]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}}\geq \frac{a+\sqrt[3]{ab.\frac{a+b}{2}}+\sqrt[3]{abc}}{3}\geq \frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3}$

Bài toán kết thúc

Tách hay vậy anh! Chỉ em phương pháp
Với lại sai ở dòng đầu

phân số của phân số thì anh để ở

\dfrac

cho phân số to, chứ phân số chồng lên nhau nó nhỏ

Dấu ngoặc là

\left( ... \right)

thì nó bao trùm cả biểu thức trong ngoặc

[quangnghia]

Tách hay vậy anh! Chỉ em phương pháp
Với lại sai ở dòng đầu

phân số của phân số thì anh để ở

\dfrac

cho phân số to, chứ phân số chồng lên nhau nó nhỏ

Dấu ngoặc là

\left( ... \right)

thì nó bao trùm cả biểu thức trong ngoặc

bài này làm cách đây 3,4 năm rồi em. giờ a nhớ mang máng nên trình bày ra thôi em. Ý tưởng a cũng quên sạch mất. Phương pháp bđt a nhớ mỗi cói ngược

[Trang Luong]

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng:$\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3}\leq \sqrt[3]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}}$

Ta có BĐT mới là : $\left ( a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc} \right )^3\leq 27a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}$

Áp dụng BĐT Holder : $$27a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}=\left ( a+a+a \right )\left ( a+b+c \right )\left ( a+\frac{a+b}{2}+b \right )\geq \left ( a+\sqrt[3]{ab.\frac{a+b}{2}}+\sqrt[3]{abc} \right )^3\geq \left ( a+\sqrt[6]{a^3b^3}+\sqrt[3]{abc} \right )^3=\left ( a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc} \right )^3$$

Edited by Trang Luong, 22-08-2014 - 08:24.

[Super Fields]

$\color{orange}{\boxed{\textrm{Hoàng}}}$ Chứng minh cái tổng quát xem nào 

[Viet Hoang 99]

Tổng quát lên bậc 4 trước nhé @@

 

Cho $a;b;c>0$

Cmr: $$\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}+\sqrt[4]{abcd}}{4}\leq \sqrt[4]{\frac{a(a+b)(a+b+c)(a+b+c+d)}{24}}$$

Lời giải:

 

$$a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}.\frac{a+b+c+d}{4}$$

$$=\frac{1}{4^4}(a+a+a+a)(a+a+b+b)\left(a+b+\frac{a+b+c}{3}+c\right)(a+b+c+d)$$

$$\geq \frac{1}{4^4}(a+a+a+a)(a+a+b+b)\left(a+b+\sqrt[3]{abc}+c\right)(a+b+c+d)$$

$$\geq \frac{1}{4^4}\left(a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}+\sqrt[4]{abcd}\right)^4$$

(Holder)

 

Qua 2 trường hợp trên liệu đã biết cách cm TQ?

Edited by Viet Hoang 99, 10-08-2014 - 19:49.

[nguyenhongsonk612]

 

Tổng quát lên bậc 4 trước nhé @@

Lời giải:

 

$$a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}.\frac{a+b+c+d}{4}$$

$$=\frac{1}{4^4}(a+a+a+a)(a+a+b+b)\left(a+b+\frac{a+b+c}{3}+c\right)(a+b+c+d)$$

$$\geq \frac{1}{4^4}(a+a+a+a)(a+a+b+b)\left(a+b+\sqrt[3]{abc}+c\right)(a+b+c+d)$$

$$\geq \frac{1}{4^4}$\left(a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}+\sqrt[4]{abcd}\right)$$$

(Holder)

 

Qua 2 trường hợp trên liệu đã biết cách cm TQ?

 

Chỗ này thiếu mũ $4$ đúng không cậu? Mấy bài dạng như này hay thật đấy.