Chủ đề này có 4 trả lời

[Viet Hoang 99]

$1)$
Cho $x;y;z>0$. Cmr:

$$\sum xy.\sum \frac{1}{(x+y)^2}\geq \frac{9}{4}$$

$2)$

Cho $x;y;z>0$. Cmr:

$$\sum \frac{x}{(x+y)(x+z)}\leq \frac{9}{4\sum x}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 10-08-2014 - 21:51

[hoctrocuanewton]

 

$2)$

Cho $x;y;z>0$. Cmr:

$$\sum \frac{x}{(x+y)(x+z)}\leq \frac{9}{4\sum x}$$

Áp dụng BĐT phụ : $(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)$

Ta có :

$\sum \frac{x}{(x+z)(x+y)}= \frac{2(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq \frac{2(xy+z+zx)}{\frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)} = \frac{9}{4\sum x}$

 

Vậy ta được đpcm

[Viet Hoang 99]

Áp dụng BĐT phụ : $(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)$

Ta có :

$\sum \frac{x}{(x+z)(x+y)}= \frac{2(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq \frac{2(xy+z+zx)}{\frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)} = \frac{9}{4\sum x}$

 

Vậy ta được đpcm

CM BĐT phụ:

 

Áp dụng AM-GM

$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$

$=(a+b+c)(ab+bc+ca)-.\sqrt[3]{abc}.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

$\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)-\dfrac{1}{9}.(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$=\dfrac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

[Bui Ba Anh]

đặt $x+y+z=p;xy+yz+zx=q;xyz=r=>(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+Z)(xy+yz+zx)-xyz=pq-r$

=> cần chứng minh $q\frac{(p^{2}+q)^{2}-4p(pq-r)}{(pq-r)^{2}}\geq \frac{9}{4}<=>4p^{4}q-17p^{2}q^{2}+4q^{3}+34pqr-9r^{2}\geq 0<=>3pq(p^{3}-4pq+9r)+q(p^{4}-5p^{2}q+4q^{2}+6pr)+r(pq-9r)\geq 0$ (đúng) $Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 11-08-2014 - 04:51

[chardhdmovies]

1,xem ở đây