Cho tứ diện $ABCD$, các điểm $M,N,P,Q$ lần lượt thuộc các cạnh $AB,BC,CD,DA$ thỏa mãn $\frac{AM}{BM}.\frac{BN}{CN}.\frac{CP}{DP}.\frac{DQ}{AQ}=1$. Liệu $M,N,P,Q$ có đồng phẳng?
#1
Đã gửi 11-08-2014 - 13:59
phatthemkem
-
- Thành viên
-
- 910 Bài viết
Trung úy
- dance yêu thích
“Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại
ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot
“Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn
những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”
-Mark Twain
Huỳnh Tiến Phát ETP
$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39
#2
Đã gửi 14-08-2014 - 00:14
ChiLanA0K48
-
- Thành viên
-
- 133 Bài viết
Trung sĩ
Cho tứ diện $ABCD$, các điểm $M,N,P,Q$ lần lượt thuộc các cạnh $AB,BC,CD,DA$ thỏa mãn $\frac{AM}{BM}.\frac{BN}{CN}.\frac{CP}{DP}.\frac{DQ}{AQ}=1$. Liệu $M,N,P,Q$ có đồng phẳng?
Ta xét 2 trường hợp:
TH1: Nếu $MN$ song song với $AC$
$\Rightarrow \frac{BM}{AM}=\frac{BN}{CN}\Leftrightarrow \frac{AM}{BM}.\frac{BN}{CN}=1\Leftrightarrow \frac{CP}{DP}.\frac{DQ}{AQ}=1\Leftrightarrow \frac{DP}{CP}=\frac{DQ}{AQ}$
Áp dụng định lý Thales đảo trong $(ACD)$ suy ra $PQ$ song song $AC$
suy ra $MN$ song song $PQ$ suy ra $M,N,P,Q$ đồng phẳng
TH2: Nếu $MN$ không song song $AC$
Gọi $E$ là giao $MN$ và $AC$
trong $(ABC)$, tam giác $ABC$ có $\overline{M,N,E}$
Áp dụng Menelaus $\Rightarrow \frac{AM}{BM}.\frac{BN}{CN}.\frac{CE}{EA}=1\Rightarrow \frac{AE}{CE}.\frac{CP}{DP}.\frac{DQ}{AQ}=1$
$E\in AC\subset (ACD)$
trong $(ACD)$, tam giác $ACD$ có $E,P,Q$ lần lượt thuộc các cạnh $AC,CD,DA$
$\frac{AE}{CE}.\frac{CP}{DP}.\frac{DQ}{AQ}=1 \Rightarrow \overline{E,P,Q}$ (Theo Menelaus đảo)
Suy ra $MN$ giao $PQ$ tại $E$. Suy ra $M,N,P,Q$ đồng phẳng
Hình vẽ: https://docs.google....jkrH2iDKuo/edit
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChiLanA0K48: 14-08-2014 - 00:15
- phatthemkem và quanghung86 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
