1 reply to this topic

[cuongphe]

Cho a,b thuộc N khác 0 và a khác b với $a^{2}b+b^{2}a\vdots a^{2}+b^{2}+ab$

CM: $\left | a-b \right |> \sqrt[3]{ab}$ 

[luuvanthai]

Cho a,b thuộc N khác 0 và a khác b với $a^{2}b+b^{2}a\vdots a^{2}+b^{2}+ab$

CM: $\left | a-b \right |> \sqrt[3]{ab}$ 

Giả sử $(a,b)=d$.Khi đó đặt $a=dx;b=dy$ thì $(x,y)=1$

Khi đó $\frac{xy(x+y)d}{x^{2}+xy+y^{2}}$ là số nguyên

Nhận thấy $(x^{2}+xy+y^{2};x)=(y^{2};x)=1;(x^{2}+xy+y^{2};x)=1;$

$t=(x^{2}+xy+y^{2};x+y)\Rightarrow t|xy\Rightarrow t|x$ hoặc $t|y$

mà $t|x^{2}+xy+y^{2}$ nên $t|y;t|x$$\Rightarrow t=1$

Do đó $(x^{2}+xy+y^{2})|d\Rightarrowđ\geq x^{2}+xy+y^{2}$

$\left | a-b \right |^{3}=d^{3}\left | x-y \right |^{3}\geq d^{3}\geqslant d^{2}(x^{2}+xy+y^{2})> d^{2}xy=ab$(đpcm)