3 replies to this topic

[AnhNgoc030201]

Chứng minh định lý FERMAT nhỏ.

Với p là số nguyên tố thì :

$a^p-a\vdots p$ ( Với a thuộc Z )

[Namthemaster1234]

$a^p-a\vdots p$ (1)

Nhân bài toán này. Mình sẽ giới thiệu cho các bạn  cách để chứng minh định lý fermat nhỏ.

Đây là bài toán mình đã đọc trong sách của Lê Quốc Hán mà có 1 cách mình khá tâm đắc.

Giải :

CÁCH 1:.Chứng minh bằng phương pháp quy nạp và vận dụng nhị thức NEWTON:

Trường hợp 1:

+ Với $a=1$ thì (1) hiển nhiên đúng

Ta giả sử nó đúng với $a=n$ tức $n^p-n\vdots p$ 

 

Ta chứng minh nó đúng đến $a=n+1$

 

Thật vậy, theo nhị thức NEWTON, ta có :

 

$(n+1)^p=n^p+C_{n}^{1}.n^{p-1}+C_{n}^{2}.n^{p-2}+...+C_{n}^{n-2}.n^{2}+C_{n}^{n-1}.n^{1}+1$

(Với $C_{n}^{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$)

 

Ta thấy $C_{n}^{k}$ luôn chia hết cho p do p là số nguyên tố, nên biểu thức được viết lại thành:

$(n+1)^p=n^p+pm+1$

(với m là một số nguyên nào đó thuộc Z )

 

Mà do $n^p-n\vdots p$ nên $(n+1)^p-(n+1)=n^p-n+pm$ cũng chia hết cho p

Do đó (1) đúng với a dương

 

Trường hợp 2: a là âm

Trường hợp này ta chỉ cần đặt $a=-b$ thì => b dương

Do vậy $-(b^p-b)$ cũng chia hết cho p. Tức (1) đúng

 

(p/s: Cách mình tâm đắc thì mình sẽ ko public nó đâu )

Edited by Namthemaster1234, 29-08-2014 - 17:20.

[huy2403exo]

 

$a^p-a\vdots p$ (1)

Nhân bài toán này. Mình sẽ giới thiệu cho các bạn  cách để chứng minh định lý fermat nhỏ.

Đây là bài toán mình đã đọc trong sách của Lê Quốc Hán mà có 1 cách mình khá tâm đắc.

Giải :

CÁCH 1:.Chứng minh bằng phương pháp quy nạp và vận dụng nhị thức NEWTON:

Trường hợp 1:

+ Với $a=1$ thì (1) hiển nhiên đúng

Ta giả sử nó đúng với $a=n$ tức $n^p-n\vdots p$ 

 

Ta chứng minh nó đúng đến $a=n+1$

 

Thật vậy, theo nhị thức NEWTON, ta có :

 

$(n+1)^p=n^p+C_{n}^{1}.n^{p-1}+C_{n}^{2}.n^{p-2}+...+C_{n}^{n-2}.n^{2}+C_{n}^{n-1}.n^{1}+1$

(Với $C_{n}^{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$)

 

Ta thấy $C_{n}^{k}$ luôn chia hết cho p do p là số nguyên tố, nên biểu thức được viết lại thành:

$(n+1)^p=n^p+pm+1$

(với m là một số nguyên nào đó thuộc Z )

 

Mà do $n^p-n\vdots p$ nên $(n+1)^p-(n+1)=n^p-n+pm$ cũng chia hết cho p

Do đó (1) đúng với a dương

 

Trường hợp 2: a là âm

Trường hợp này ta chỉ cần đặt $a=-b$ thì => b dương

Do vậy $-(b^p-b)$ cũng chia hết cho p. Tức (1) đúng

 

(p/s: Cách mình tâm đắc thì mình sẽ ko public nó đâu )

 

hồi xưa mình nhớ bài này lớp 6 cô từng bắt làm rồi . Thế có cách nào theo kiểu lớp 6 không ?

[chardhdmovies]

Anh có cách chứng minh bằng tổ hợp-hình học khá là hay 
Xét đường tròn đơn vị, chia đường tròn thành thành $p$ cung bằng nhau, mỗi cung được tô bởi 1 trong $a$ màu. Ta sẽ tìm số cách tô màu $a$ màu vào $p$ cung sao cho không có số cách tô nào bằng nhau.
Trước hết số cách tô $a$ màu cho $p$ cung là $a^{p}$, tuy nhiên trong số cách tô đó, ta xét TH tất cả các cung đều được tô bằng 1 màu trong $a$ màu. Khi đó ta thấy với mọi phép quay tâm ta đều nhận được cách tô ban đầu nên số cách tô trong TH này là $a$
Xét các TH còn lại, tức là $p$ cung không được tô bởi cùng 1 màu, số cách tô trong TH này là $a^{p}-a$. Khi đó vì $p$ là số nguyên tố nên không tồn tại phép chia $p$ cung thành các phần chứa số cung bằng nhau, khi đó thực hiện $p$ phép quay tâm với $p$ cung thì 1 cách tô cho ra $p$ cách tô tương ứng nên số cách tô bị lặp lại $p$ lần, suy ra số cách tô trong TH này là $\frac{a^{p}-a}{p}$
Từ đó ta có tổng số cách tô là $\frac{a^{p}-a}{p}+a$ mà số cách tô luôn là số nguyên nên ta suy ra $a^{p}-a\vdots p$.
Định lý được chứng minh.