Chủ đề này có 1 trả lời

[Dinh Xuan Hung]

Cho a,b,c thoả mãn:$0\leq a\leq b\leq c\leq 1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$(a+b+c+3)(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c})$

[Viet Hoang 99]

Đề bài của ĐÀO MINH TÂN (Hải Dương) 

Cho a,b,c thoả mãn:$0\leq a\leq b\leq c\leq 1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$(a+b+c+3)(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c})$

Đặt $x=a+1;y=b+1;c=z+1$
Đưa bài toán về:
 

 

Cho $x;y;z$ thỏa mãn $1\leq x\leq y\leq z\leq 2$. Tìm Max $P=(x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$      $(=10)$

Bạn nào quen làm BĐT chắc đã biết bài này!

 

 

Vì $1\leq x\leq y\leq z\leq 2$ nên

• $\left(\frac{x}{y}-1\right)\left(\frac{y}{z}-1\right)\geq 0\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}\leq \frac{x}{z}+1$
• $\left(\frac{y}{x}-1\right)\left(\frac{z}{y}-1\right)\geq 0\Leftrightarrow \frac{y}{x}+\frac{z}{y}\leq \frac{z}{x}+1$

Vậy $P\leq 5+2\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)$

Mà $\left(\frac{x}{z}-1\right)\left(\frac{z}{x}-2\right)\geq 0\Leftrightarrow 3\geq \frac{2x}{z}+\frac{z}{x}$
$\Leftrightarrow \frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq 3-\frac{x}{z}\leq 3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$

$\Rightarrow P\leq 10$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 30-08-2014 - 15:23