Chủ đề này có 5 trả lời

[chardhdmovies]

cho $a,b,c>0$.CMR $3(a^3b+b^3c+c^3a)\leq (a^2+b^2+c^2)^2$

 

NTP

[Rias Gremory]

cho $a,b,c>0$.CMR $3(a^3b+b^3c+c^3a)\leq (a^2+b^2+c^2)^2$

 

NTP

Đặt $b=a+x,c=a+y$ khi đó BĐT đã cho tương đương với :

$(x^2-xy+y^2)a^2-(x^3-5x^2y+4xy^2+y^3)a+x^4-3x^3y+2x^2y^2+y^4\geq 0$

Hệ số cao nhất của PT bậc $2$ ẩn $a$ dương.

$\Delta _a=(x^3-5x^2y+4xy^2+y^3)^2-4(x^2-xy+y^2)(x^4-3x^3y+2x^2y^2+y^4)=-3(x^3-x^2y-2xy^2+y^3)^2\leq 0$

Vậy nên $f(a)\geq 0$ bài toán đc CM

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $(a,b,c)$ tỉ lệ với bộ $(sin^2\frac{4\pi }{7},sin^2\frac{2\pi}{7},sin^2\frac{\pi}{7})$ và các hoán vị

[hoangquan9x]

Đặt $b=a+x,c=a+y$ khi đó BĐT đã cho tương đương với :

$(x^2-xy+y^2)a^2-(x^3-5x^2y+4xy^2+y^3)a+x^4-3x^3y+2x^2y^2+y^4\geq 0$

Hệ số cao nhất của PT bậc $2$ ẩn $a$ dương.

$\Delta _a=(x^3-5x^2y+4xy^2+y^3)^2-4(x^2-xy+y^2)(x^4-3x^3y+2x^2y^2+y^4)=-3(x^3-x^2y-2xy^2+y^3)^2\leq 0$

Vậy nên $f(a)\geq 0$ bài toán đc CM

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $(a,b,c)$ tỉ lệ với bộ $(sin^2\frac{4\pi }{7},sin^2\frac{2\pi}{7},sin^2\frac{\pi}{7})$ và các hoán vị

Nếu không áp dụng sin thì CM sao anh???

[Mikhail Leptchinski]

cho $a,b,c>0$.CMR $3(a^3b+b^3c+c^3a)\leq (a^2+b^2+c^2)^2$

 

NTP

 

Nếu không áp dụng sin thì CM sao anh???

Bạn có thể tham khảo cách này

 

Cách 1:Ta có:$4(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)\left [ (a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a) \right ]=\left [ (a^3+b^3+c^3)-5(a^2b+b^2c+c^2a)+4(ab^2+bc^2+ca^2) \right ]^2+3\left [ (a^3+b^3+c^3)-(a^2b+b^2c+c^2a)-2(ab^2+bc^2+ca^2)+6abc \right ]^2\geq 0$

 

Cách 2:Không mất tính tổng quát giả sử $a=min(a,b,c)$

Đặt $b=a+x,c=a+y(x,y\geq 0)$ 

Ta có:VT-VP=$(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)=(x^2+y^2-xy)a^2+(x^3+y^3+4xy^2-5x^2y)a+x^4+y^4+2x^2y^2-3x^3y$

Coi đây là tam thức bậc 2 ẩn a

Khi đó $\Delta (x^3+y^3-4xy^2-5x^2y)-4(x^2+y^2-xy)(x^4+y^4+2x^2y^2-3x^3y)=-3(x^3-x^2y-2xy^2-y^3)^2\leq 0$ 

=> điều phải chứng minh

[ducanh1980]

Sai rồi 

Mikhail Leptchinski
               

[lahantaithe99]

cho $a,b,c>0$.CMR $3(a^3b+b^3c+c^3a)\leq (a^2+b^2+c^2)^2$

 

NTP

 

Không nhớ lắm nhưng đây hình như là BĐT Vasile gì gì đó, khá nổi tiếng. Có $2$ cách giải mà mình sưu tầm được

 

Cách $1$: Trừ $2$ vế cho nhau. BĐT tương đương

 

$\frac{1}{2}\sum (a^2-b^2-ab-ac+2bc)^2\geqslant 0$ (luôn đúng)

 

Cách $2$: Áp dụng BĐT quen thuộc là $(x+y+z)^2\geqslant 3(xy+yz+xz)$ thì

 

Đặt $(x,y,z)=(a^2+bc-ab,b^2+ac-bc,c^2+ab-ac)$

 

Thay vào và thực hiện khai triển trực tiếp thu được đpcm