1 reply to this topic

[pndpnd]

tìm tất cả các số nguyên dương m sao cho mọi a,b nguyên ta luôn có $a^2\equiv b^2$ ( mod m ) $\Rightarrow a\equiv b$ ( mod m ) hoặc $a\equiv -b$ ( mod m)

[Near Ryuzaki]

tìm tất cả các số nguyên dương m sao cho mọi a,b nguyên ta luôn có $a^2\equiv b^2$ ( mod m ) $\Rightarrow a\equiv b$ ( mod m ) hoặc $a\equiv -b$ ( mod m)

Viết lại đề $$\forall a,b\in \mathbb{Z},a^2\equiv b^2(mod m)\Rightarrow a\equiv \underline{+}b(modm)(1)$$

+)Xét $m=1$ thì $(1)$ đúng

+)Xét $m$ là số nguyên tố 

Ta có : $$m \mid a^2-b^2=(a-b)(a+b)\Rightarrow m \mid (a-b)\vee m \mid (a+b)$$

(do $m$ là số nguyên tố)

Từ đó suy ra $a\equiv b(modm)\vee a\equiv -b(mod)$ nên ta có đpcm

+)Xét $m \neq 1 $ và $m$ không nguyên tố. Ta chứng minh điều kiện cần và đủ đề có $(1)$ là $m=2p$ với $p$ là một số nguyên tố lẻ

Điều kiện cần : Giả sử $(1)$ đúng . Vì $m$ là hợp số nên đặt $m=xy$ với $x,y\in\mathbb{N^*}\setminus \begin{Bmatrix}1\end{Bmatrix}$

Lấy $$a=x+y,b=x-y (a,b \in \mathbb{Z^+})$$

thì $$a^2-b^2=4xy=4m\vdots m\Rightarrow a^2\equiv b^2(modm)\Rightarrow a\equiv \underline{+}b(modm)$$ (do $(1)$)

$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 2y=(a-b)\vdots m=xy \\ 2x=(a+b)\vdots m=xy \end{array} \right..\Rightarrow \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 2\vdots x \\ 2\vdots y \end{array} \right..\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=2 \\ y=2 \end{array} \right..$$

Vậy $m=2n$ với $n\in\mathbb{N^*}\setminus \begin{Bmatrix}1\end{Bmatrix}$

Nếu $n$ là một hợp số thì $n=\alpha \beta$ với $\alpha,\beta\in\mathbb{N^*}\setminus \begin{Bmatrix}1\end{Bmatrix}$

Suy ra $m=(2.\alpha).\beta$ với $2\alpha \neq 2$ suy ra $\beta=2$ suy ra $m=4\alpha$

Lúc này chọn $a=2\alpha,b=0.$

Dễ thấy $a^2\equiv b^2(modm)$ nhưng $a\underline{+}b\equiv 0(modm)$

Điều này vô lý nên $n=p$ là một số nguyên tố.

Hơn nữa nếu $p=2$ thì $m=4$, theo chứng minh trên (với $\alpha =1,m=4\alpha$) ,ta thấy $(1)$ không thỏa suy ra $p$ lẻ

Điều kiện đủ: Cho $m=2p$ với $p$ là một số nguyên tố lẻ và cho $a,b \in \mathbb{Z}$ mà $a^2\equiv b^2(mod m)$

Suy ra $a,b$ cùng tính chẳn lẻ suy ra $2\mid (a-b)\wedge 2\mid (a+b)$

Mặt khác, $(a-b)(a+b)=a^2-b^2 \vdots m \vdots p$

Suy ra $p\mid (a-b)\vee p\mid (a+b)$

Từ đó ta có $2p=m \mid (a-b)m \vee 2p=m\mid (a+b)$

Kết luận

$m=1$ hoặc $m$ nguyên tố, $m=2p$ với $p$ là một số nguyên tố lẻ $.\blacksquare$

_____________________
Bài này khá phê Đáng nhẽ bạn nên post ở box số học olympic

Edited by sieusieu90, 08-09-2014 - 21:43.