Chủ đề này có 1 trả lời

[hoaln]

Tìm hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thoả mãn:

$$f(x+2002)(f(x)+\sqrt{2003})=-2004, \forall x$$
 

[perfectstrong]

Lời giải:

$$f(x+2002)(f(x)+\sqrt{2003})=-2004, \forall x$$ (1)

Giả sử tồn tại $f$ thỏa đề. Từ (1) suy ra $f\left( x \right)\not  \in \left\{ {0; - \sqrt {2003} } \right\}\forall x$ vì nếu không thì $VT(1)=0 \ne -2004$.

Mà $f$ lại liên tục nên miền giá trị $f$ phải là $(-\infty;-\sqrt{2003});(-\sqrt{2003};0)$ hoặc $(0;+\infty)$

Trường hợp 1: $f\left( x \right) <  - \sqrt {2003} \forall x$

Khi đó, (1) không thỏa vì \[
\left. \begin{array}{l}
 f\left( x \right) + \sqrt {2003}  < 0 \\
 f\left( {x + 2002} \right) <  - \sqrt {2003}  < 0 \\
 \end{array} \right\} \Rightarrow f\left( {x + 2002} \right)\left( {f\left( x \right) + \sqrt {2003} } \right) > 0 >  - 2004:
\]
Trường hợp 2: $ - \sqrt {2003}  < f\left( x \right) < 0\forall x$

Khi đó (1) không thỏa vì\[
\left. \begin{array}{l}
 \left| {f\left( {x + 2002} \right)} \right| < \sqrt {2003}  \\
 \left| {f\left( x \right) + \sqrt {2003} } \right| < \sqrt {2003}  \\
 \end{array} \right\} \Rightarrow \left| {f\left( {x + 2002} \right)\left( {f\left( x \right) + \sqrt {2003} } \right)} \right| < 2003 < \left| { - 2004} \right|
\]
Trường hợp 3: $f(x)>0 \forall x$

Khi đó (1) không thỏa vì\[
\left. \begin{array}{l}
 f\left( x \right) + \sqrt {2003}  > 0 \\
 f\left( {x + 2002} \right) > 0 \\
 \end{array} \right\} \Rightarrow f\left( {x + 2002} \right)\left( {f\left( x \right) + \sqrt {2003} } \right) > 0 >  - 2004
\]
Vậy trong mọi trường hợp thì (1) đều không thỏa. Vậy không tồn tại $f$ thỏa đề.