Cho $a;b;c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=3$.
Tìm min$P= a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$
Cho $a;b;c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=3$.
Tìm min$P= a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$
Cho $a;b;c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=3$.
Tìm min$P= a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$
Có:
$a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$
Áp dụng ta có:
$a^2b+b^2c+c^2a\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}}\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^4}= (a^2+b^2+c^2)^2$
Đặt $a^2+b^2+c^2=t\geq \frac{1}{3}$
$\Rightarrow P\geq t+\frac{1-t}{2t^2}=t+\frac{1}{2t^2}-\frac{1}{2t}$
Điểm rơi là $t=\frac{1}{3}$, OK!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 17-09-2014 - 22:30
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
Có:
$a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$Áp dụng ta có:
$a^2b+b^2c+c^2a\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}}=\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^4}=(a^2+b^2+c^2)^2$Đặt $a^2+b^2+c^2=t\geq \frac{1}{3}$
$\Rightarrow P\geq t+\frac{1-t}{2t^2}=t+\frac{1}{2t^2}-\frac{1}{2t}$
Điểm rơi là $t=\frac{1}{3}$, OK!
Bđt đầu tiên phần áp dụng là gì vậy anh?
Bđt đầu tiên phần áp dụng là gì vậy anh?
Áp dụng định lí Svacxo hoặc bạn dùng tương đương cx ra!!!!!
Có:
$a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$Áp dụng ta có:
$a^2b+b^2c+c^2a\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}}\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^4}= (a^2+b^2+c^2)^2$Đặt $a^2+b^2+c^2=t\geq \frac{1}{3}$
$\Rightarrow P\geq t+\frac{1-t}{2t^2}=t+\frac{1}{2t^2}-\frac{1}{2t}$
Điểm rơi là $t=\frac{1}{3}$, OK!
anh nhầm ngay dòng đầu tiên này, $a+b+c=3$ cơ mà!
Cho $a;b;c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=3$.
Tìm min$P= a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$
Ta có:$ab+bc+ac=\frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2}$
ta có $3(a^2+b^2+c^2)$=(a+b+c)($a^2+b^2+c^2$)=$a^3+ab^2+ac^2+b^3+ba^2+bc^2+c^3+a^2c+b^2c$=$(a^3+ab^2)+(b^3+bc^2)+(c^3+a^2c)+a^2b+b^2c+ac^2$
Áp dụng bdt AM-GM cho hai số dương ta được:
$a^3+ab^2\geq 2a^2b$.DBXR khi a=b
CMTT:$b^3+bc^2\geq 2b^2c$.DBXR khi b=c
$c^3+ac^2\geq 2ac^2$.DBXR khi a=c
$\Rightarrow (a^3+ab^2)+(b^3+c^2b)+(c^3+ca^2)\geq 2(a^2b+b^2c+c^2a)\Rightarrow (a^3+ab^2)+(b^3+c^2b)+(c^3+ca^2)+a^2b+b^2c+c^2a\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)\geq(a^2b+b^2c+c^2a)$.DBXR khi a=b=c
khi đó P$\geq a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}= t+\frac{9-t}{t}$(t=$a^2+b^2+c^2$)
Đến đây bạn tự giải tiếp nhé
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh