Chủ đề này có 4 trả lời

[nmt]

Chứng minh rằng ma trận vuông thực M cấp n có vết bằng 0 (i.e tr(M)=0) khi và chỉ khi tồn tại các ma trận vuông thực X,Y cấp n sao cho M=XY-YX

[Kakalotta]

Cho g là tập các ma trận vết 0.
Chứng minh g=[g,g].
mọi ma trận vết không đều biểu diễn thành tổng hữu hạn các XY-YX, trong đó X và Y vết 0.

[noproof]

Tập các ma trận cấp n có vết bằng 0 với tích [x,y]=xy-yx, lập nên một đại số Lie, ký hiệu sl(n). Một cơ sở (khi xem sl là kgvt) tạo bởi các http://dientuvietnam...i}-e_{i 1,i 1}. Chịu khó tính , sẽ chỉ ra được [sl,sl]=sl .

Bài thứ nhất làm thế nào vậy ta? Noproof mới chỉ chứng minh được khẳng định là đúng với n=2. (Hy vọng chứng minh cũng không sai .)

[TieuSonTrangSi]

Bài thứ nhất làm thế nào vậy ta?

Mình biết cách này, sử dụng 2 bổ đề :

Bổ đề 1. Mọi ma trận http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?A có vết bằng 0 đều "đồng dạng" với một ma trận http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?B trong đó các số trên đường chéo đều bằng 0. Nói cách khác, tồn tại http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?P sao cho http://dientuvietnam....cgi?A=P^{-1}BP và http://dientuvietnam...ex.cgi?B_{ii}=0 với mọi http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?n. Đây cũng là một kết quả "cổ điển" của đại số tuyến tính.

Bổ đề 2. Cho một ma trận chéo http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?D=\mbox{diag}(d_1,d_2,\cdots,d_n) với http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?A có vết bằng 0. Theo bổ đề 1, tồn tại http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?P sao cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?D,M sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?B=DM-MD. Vậy,

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A=(P^{-1}DP)(P^{-1}MP)-(P^{-1}MP)(P^{-1}DP).

[noproof]

Cám ơn bác TieuSonTrangSi rất nhiều. Cách giải rất hay.
Bổ đề 1 có thể phát biểu: Cho $A\not=cI$, $I$ ma trận đơn vị, $c$ là hằng số. Khi đó $A$ đồng dạng với một ma trận có các phần tử trên đường chéo là $0,0,...,0,Tr(A)$.

(Phát biểu như trên có vẻ dễ chứng minh bằng quy nạp hơn )