3 replies to this topic

[khanghaxuan]

Cho x,y,z là ba số thực không âm đôi một khác nhau . Tìm GTNN của : 

$A=(x+y+z)^{2}(\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}})$

[dogsteven]

Assume $a\leqslant b\leqslant c$

Put $x=b-a; y=c-a$. We have:

$$A \geqslant (x+y)^2.\left [ \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{(x-y)^2} \right]$$

 

OK.

[khanghaxuan]

Đến đây dùng đạo hàm là OK rồi nhưng cho em hỏi về phần dấu ''=''  , làm sao anh biết được dấu ''='' xảy ra khi một biến bằng 0 . Nếu như ba biến khác 0 và đôi một khác và biểu thức đạt giá trị chặt hơn thì sao ạ . Mong anh giải thích giúp em . Và có phải những BĐT thức loại này  thường có một biến bằng 0 hay không ạ ? Cảm ơn .

[dogsteven]

Bài này xuất phát từ đây:

$$f(t)=F(a,b,c)=F(x+t,y+t,z+t)=(a+b+c)^2\left[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\right]$$

Ta khảo sát hàm này với $t\geqslant –z=-\text{min}\{x,y,z\}$ và $a,b,c\geqslant 0$:

$$f’(t)=[F]= 6\left[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\right](a+b+c) \geqslant 0$$

$$\Rightarrow f(t) \geqslant f(-z)=F(x-z,y-z,0)$$

Cái bất đẳng thức cuối là giới hạn nhất rồi.

Edited by dogsteven, 09-12-2014 - 15:53.