Chủ đề này có 5 trả lời

[Dam Uoc Mo]

Cho $a,b,c\geq 0. \\ CMR: \frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}}+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 1.$

Mọi người thử dùng cách càng đơn giản càng tốt nha.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dam Uoc Mo: 20-12-2014 - 09:12

[binhnhaukhong]

Cho $a,b,c\geq 0. \\ CMR: \frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}}+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 1.$

Mọi người thử dùng cách càng đơn giản càng tốt nha.

Như thiếu điều kiện abc=1 bạn ơi

[Dam Uoc Mo]

Như thiếu điều kiện abc=1 bạn ơi

Không thiếu đâu bạn.Ừ thì cho thêm bạn abc=1 đó,chuẩn hóa là được mà.Bạn cứ sử dụng abc=1 c.m cho mình,mình sẽ giải quyết nốt

[huyphamvan]

Đặt $ x=\dfrac{b}{a} ; y=\dfrac{c}{b} ; z=\dfrac{a}{c} $. Đưa bài toán về chứng minh:
$ \sum \dfrac{1}{(x+1)^3} +\dfrac{5}{(x+1)(y+1)(z+1)} \geq 1 $ với $ x,yz >0 $ thoả $ xyz=1 $
 

[huyphamvan]

Để thuận tiện hơn em đặt theo các biến mới:
$ m= \dfrac{1}{x+1} ; n=\dfrac{1}{y+1}; p=\dfrac{1}{z+1};  ( 0<m,n,p<1) $
Do $ xyz=1 $ nên $ mnp=(1-m)(1-n)(1-p) \Leftrightarrow 2mnp=1-S+Q $ trong đó $ S=m+n+p; Q=mn+np+pm $
$ S-1 < Q \leq \dfrac{S^2}{3} $
Ta cần chứng minh:
$ m^3+n^3+p^3+5mnp \geq 1 \\ \Leftrightarrow 8mnp+S^3-3SQ \geq 1 \\ \Leftrightarrow S^3-4S+3 \geq (3S-4)Q $
TH1: $ S<1 $ . Ta có:
$ S^3-4S+3=(1-S)(3-S-S^2) \geq 0 \geq (3S-4)Q $
TH2: $ 1< S < \dfrac{4}{3} $. Ta có:
$ S^3-4S+3- (3S-4)Q > S^3-4S+3 - (3S-4)(S-1)=(S-1)^3>0 $
TH3: $ S \geq \dfrac{4}{3} $. Ta có:
$ S^3-4S+3- (3S-4)Q \geq S^3-4S+3- (3S-4) \dfrac{S^2}{3} = \dfrac{(2S-3)^2}{3} \geq 0 $
Phép chứng minh hoàn tất $ \square $

[binhnhaukhong]

Chỉ cần đặt:

$x=\frac{b-c}{b+c},y=\frac{c-a}{c+a},z=\frac{a-b}{a+b}\Rightarrow x+y+z+xyz=0$

Ta lại có:$1+x=\frac{2b}{b+c},1+y=\frac{2c}{c+a},1+z=\frac{2a}{a+b}$

Cần chứng minh:

$(1+x)^3+(1+y)^3+(1+z)^3+5(1+x)(1+y)(1+z)\geq 8$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]+3\sum x^2+5\sum xy\geq  $

Có $x+y+z=-\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(a+c)}$

Không mất tính tổng quát ta giả sử $a\geq b\geq c$.Vậy ta cần chỉ ra:

$3\sum x^2+5\sum xy\geq0$.Nếu $\sum xy\geq0$ thì ta có đpcm

Xét $\sum xy\leq 0$ thì $3(x+y+z)^2-(xy+yz+xz)\geq0$.Do vậy ta có Đpcm