Chủ đề này có 1 trả lời

[bestmather]

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$

Tìm GTLN của P=$xy+yz+2zx$

(dùng cauchy)

[backtodecember12356]

Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi x=z=ky(k>0)

Ta có:

$2xz \le x^2+z^2$

$xy=\dfrac{1}{k} . x . (ky) \le \dfrac{1}{2k} (x^2+k^2y^2)$

Tương tự: $yz \le \dfrac{1}{2k} (z^2+k^2y^2)$

Suy ra: $P \le (1+\dfrac{1}{2k})(x^2+z^2) + ky^2$

Ta chọn k sao cho $1+\dfrac{1}{2k} = k$

$\leftrightarrow k=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$

Suy ra: $P \le \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}(x^2+y^2+z^2) = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$