Chủ đề này có 1 trả lời

[khavanloi]

Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{x}{\sqrt{x^2+yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+zx}}+\frac{z}{\sqrt{z^2+xy}}$

[nhungvienkimcuong]

Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{x}{\sqrt{x^2+yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+zx}}+\frac{z}{\sqrt{z^2+xy}}$

cách 1:

thay $\left ( \frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x} \right )\rightarrow \left ( a,b,c \right )$

do đó $P=\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}$

ta có bài China 2004 quen thuộc là $\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

do đó $P\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

cách 2:

ta có $\left ( \sum \frac{x}{\sqrt{x^2+yz}} \right )^2\leq \left [ \sum \frac{x}{(x+y)(x+z)} \right ]\left [ \sum \frac{x(x+y)(x+z)}{x^2+yz} \right ]=$

       $=\frac{2\sum xy}{\prod (x+y)}\left [ \sum \left ( x+\frac{x^2(y+z)}{x^2+yz} \right ) \right ] \leq \frac{9}{4(x+y+z)}\left [ \sum \left ( x+\frac{x^2(y+z)}{x^2+yz} \right ) \right ]$

do đó ta cần chứng minh $\frac{9}{4(x+y+z)}\left [ \sum \left ( x+\frac{x^2(y+z)}{x^2+yz} \right ) \right ] \leq \frac{9}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{x^2(y+z)}{x^2+yz}\leq x+y+z$

thay $(x,y,z)\rightarrow \left ( \frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c} \right )$

do đó ta cần chứng minh $\sum \frac{b+c}{a^2+bc}\leq \sum \frac{1}{a}$

điều này luôn đúng do $\sum \frac{b+c}{a^2+bc}=\sum \frac{(b+c)^2}{c(a^2+b^2)+b(c^2+a^2)}\leq \sum \left [ \frac{b^2}{c(a^2+b^2)}+\frac{c^2}{b(c^2+a^2)} \right ]=\sum \frac{1}{a}$

do đó bđt được chứng minh hoàn toàn

 

U-Th

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 03-01-2015 - 22:09