2 replies to this topic

[Nguyen Duc Phu]

Cho $(x+\sqrt{x^{2}+14^{4}})(y+\sqrt{y^{2}+14^{4}})=14^{4}$

Tính $K=x^{2015}+y^{2015}$

[Hoang Long Le]

Cho $(x+\sqrt{x^{2}+14^{4}})(y+\sqrt{y^{2}+14^{4}})=14^{4}$

Tính $K=x^{2015}+y^{2015}$

Đặt 14^4=a cho dễ nhìn đã nhé

Ta có: $GT\Leftrightarrow x\sqrt{y^2+a}+y\sqrt{x^2+a}=a-xy-\sqrt{(x^2+a)(y^2+a)}$

$\Rightarrow 2x^2y^2+x^2a+y^2a+2xy\sqrt{(x^2+a)(y^2+a)}=a^2+x^2y^2+x^2y^2+ax^2+ay^2+a^2-2axy-2a\sqrt{(x^2+a)(y^2+a)}+2xy\sqrt{(x^2+a)(y^2+a)}$

$\Leftrightarrow 2a^2=2axy+2a\sqrt{(x^2+a)(y^2+a)}$

$\Leftrightarrow a-xy=\sqrt{(x^2+a)(y^2+a)}$

$\Rightarrow a^2-2axy+x^2y^2=x^2y^2+ax^2+ay^2+a^2$

$\Rightarrow x^2+2xy+y^2=0$

$\Rightarrow x+y=0$

$\Rightarrow K=0$

[phamngochungcamthanh9a]

$(x+\sqrt{x^{2}+14^{4}})(y+\sqrt{y^{2}+14^{4}})=14^{4} \Leftrightarrow (x-\sqrt{x^{2}+14^{4}})(x+\sqrt{x^{2}+14^{4}})(y+\sqrt{y^{2}+14^{4}})=14^{4}(x-\sqrt{x^{2}+14^{4}})$

$\Leftrightarrow (x^{2}-x^{2}-14^{4})(y+\sqrt{y^{2}+14^{4}})=14^{4}(x-\sqrt{x^{2}+14^{4}})$

$\Leftrightarrow y+\sqrt{y^{2}+14^{4}}=\sqrt{x^{2}+14^{4}}-x$                  (1)

Tương tự:  $x+\sqrt{x^{2}+14^{4}}=\sqrt{y^{2}+14^{4}}-y$                         (2)

Cộng từng vế của (1) và (2) và rút gọn, ta được:

x+y=0

$\Rightarrow x^{2015}+y^{2015}=(x+y)(x^{2014}-x^{2013}y+x^{2012}y^{2}-...-xy^{2013}+y^{2014})=0$