3 replies to this topic

[MarvelHero]

1) Cho các số a,b,c $\geq 0$. Chứng minh:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\leq \sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}$

 

2) Cho 3 số $x,y,z$ thỏa mãn: $-1\leq x,y,z\leq 1$ và $x+y+z=0$.Tìm max của
$x^{2}+y^{4}+z^{6}$

Edited by Mikhail Leptchinski, 15-01-2015 - 23:33.

[Chung Anh]

1) Cho các số a,b,c $\geq 0$. Chứng minh:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\leq \sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}$

 

 

Vì$a,b \geq 0$ nên

$a+b\geq a\Leftrightarrow \frac{a}{a+b}\leq 1\Leftrightarrow (\frac{a}{a+b})^2\leq \frac{a}{a+b}\Leftrightarrow \frac{a}{a+b}\leq \sqrt{\frac{a}{a+ b}}$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự,cộng lại được điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{a}{a+b}=0 (h) \frac{a}{a+b}=1& & & \\ \frac{b}{b+c}=0(h)\frac{b}{b+c}=1&  &  & \\ \frac{c}{c+a}=0(h)\frac{c}{c+a}=1&  &  & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow a=b=0;c \neq 0$ hoặc $b=c=0;a \neq 0$ hoặc $c=a=0;b \neq 0$

Edited by Chung Anh, 19-01-2015 - 17:21.

[Chung Anh]

2) Cho 3 số $x,y,z$ thỏa mãn: $-1\leq x,y,z\leq 1$ và $x+y+z=0$.Tìm max của

$x^{2}+y^{4}+z^{6}$

Từ giả thiết suy ra $P\leq x^2+y^2+z^2$

Và$(x-1)(y-1)(z-1)\leq 0 $

    $(x+1)(y+1)(z+1)\geq 0 $

Nên $\Rightarrow (x+1)(y+1)(z+1)-(x-1)(y-1)(z-1)\geq 0$

       $\Leftrightarrow 2xy+2yz+2zx+2\geq 0$

       $\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz+2 \geq x^2+y^2+z^2 $

       $\Leftrightarrow 2\geq P $

=> $Max P=2\Leftrightarrow (x;y;z)=(0;1;-1) $ và các hoán vị

Edited by Chung Anh, 19-01-2015 - 17:34.

[kanashini]

2.

 

Do $x+y+z=0$ nên trong 3 số có 2 số cùng dấu

 

 

Giả sử $x;y \geq 0$. Suy ra $z \leq 0$

 

Ta có $x^2+y^4+z^6 \leq |x|+|y|+|z|=x+y-z=-2z \leq 2$