a)
Tam giác AOC cân
=>$\widehat{OAC} =\frac{1}{2} .(180^\circ -\widehat{AOC})$
$=\frac{1}{2}(180^\circ -2 .\widehat{ABC}) =90^\circ -\widehat{ABC}$ (1)
mà BFEC nội tiếp =>$\widehat{ABC} =\widehat{AEF}$ (2)
từ (1, 2) =>$\widehat{OAC} +\widehat{AEF} =90^\circ$
=>OA vuông góc EF
b)
Ta có $\widehat{EFH} =\widehat{EAH} =90^\circ -\widehat{ACB}$
tương tự $\widehat{DFH} =90^\circ -\widehat{ACB} =\widehat{EFH}$ (3)
=>$\widehat{EFD} =\widehat{EFH} +\widehat{DFH} =180^\circ -2 .\widehat{ACB}$ (4)
có $\widehat{EMC} =2 .\widehat{EBC} =2 .(90^\circ -\widehat{ACB}) =180^\circ -2 .\widehat{ACB}$ (5)
từ (4, 5) =>$\widehat{EFD} =\widehat{EMC}$ =>EFDM nội tiếp (đpcm)
c)
BO cắt FD tại G, CO cắt ED tại J
có $\widehat{IFB} +\widehat{BFH} +\widehat{HFE} =180^\circ$
<=>$\widehat{IFB} =90^\circ -\widehat{HFE} =90^\circ -\widehat{HFD}$ (vì có (3))
=>$\widehat{IFB} =\widehat{GFB}$ (6)
$\widehat{FIB} =\widehat{FGB} =90^\circ$ (7)
từ (6, 7) và có cạnh FB chung
=>$\triangle IFB =\triangle GFB$ (cạnh huyền, góc nhọn)
=>IF =GF (8)
chứng minh tương tự có KE =JE (9)
có $\widehat{EDC} =\widehat{BAC} =\widehat{FDB}$ (vì AEDB, AFDC nội tiếp)
=>$\widehat{JDC} =\widehat{EAB} =\widehat{GDB}$ (10)
mà $\widehat{DJC} =\widehat{AEB} =\widehat{DGB} =90^\circ$ (11)
từ (10, 11) =>$\triangle JDC \sim\triangle EAB \sim\triangle GDB$ (g, g)
$\frac{DJ}{DC} =\frac{AE}{AB} =\frac{DG}{DB}$ (12)
(12) =>$\frac{DJ}{DC} =\frac{DG}{DB} =\frac{DJ +DG}{DC +DB} =\frac{DJ +DG}{BC}$ (13)
có $\triangle AEF \sim\triangle ABC$ (g, g)
=>$\frac{AE}{AB} =\frac{EF}{BC}$ (14)
từ (12, 13, 14) =>$\frac{DJ +DG}{BC} =\frac{EF}{BC}$
<=>DJ +DG =EF (15)
Ta có DE +DF =DG +GF +DJ +JE (16)
thế (8, 9,15) vào (16) được
DE +DF =EF +IF +KE =IK (đpcm)
