Chủ đề này có 2 trả lời

[Viet Hoang 99]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương .  Chứng minh rằng :     

 

1) $\sum \frac{a^{3}}{a^2+b^2}\geq \frac{\sqrt{3.(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}{2}$

 

2) $\sum \frac{a^{4}}{b^3+c^3}\geq \frac{\sqrt{3.(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}{2}$

 

3) $\sum \frac{a^2}{b+c}\ge \frac{\sqrt[4]{27(a^4+b^4+c^4)}}{2}$

 

4) $\sum \frac{a^2}{b+c}\ge \frac{\sqrt[5]{81(a^5+b^5+c^5)}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 28-01-2015 - 22:09

[dogsteven]

Bài 1. Áp dụng bất đẳng thức Holder:

$\left(\sum \dfrac{a^3}{a^2+b^2}\right)^2\left[\sum (a^2+b^2)^2(a^2+c^2)^3\right] \geqslant \left[a^2(a^2+c^2)\right]^3 = \dfrac{\left[\sum (a^2+b^2)^2\right]^3}{8}$

Do đó ta cần chứng minh: $\left[\sum (a^2+b^2)^2\right]^3 \geqslant 3\left[\sum (a^2+b^2)\right]\left[\sum (a^2+b^2)^2(a^2+c^2)^3\right]$

Đặt $\sqrt{x}=a^2+b^2, \sqrt{y}=b^2+c^2, \sqrt{z}=c^2+a^2$ thì ta cần chứng minh:

$(x+y+z)^2 \geqslant 3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})(xy^{3/2}+yz^{3/2}+zx^{3/2})$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì  $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leqslant \sqrt{3(x+y+z)}$

Chuẩn hóa $x+y+z=3$ thì ta cần chứng minh:  $xy^{3/2}+yz^{3/2}+zx^{3/2}\leqslant 3$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:  $xy^{3/2}+yz^{3/2}+zx^{3/2}\leqslant \sqrt{(xy+yz+zx)(xy^2+yz^2+zx^2)}$

Do đó ta cần chứng minh:$(xy+yz+zx)(xy^2+yz^2+zx^2)\leqslant 9\\ \Leftrightarrow (xy+yz+zx)\left[xy^3+yz^3+zx^3+(xy+yz+zx)^2-3xyz\right]\leqslant 27$

Áp dụng bất đẳng thức Vasile cho ta  $3(xy^3+yz^3+zx^3)\leqslant (x^2+y^2+z^2)^2$, ta chuyển về chứng minh

$q[(9-2q)^2+3q^2-9r] \leqslant 81$

Áp dụng bất đẳng thức Schur  $9r\geqslant 12q-27$ thì ta cần chứng minh $q[(9-2q)^2+3q^2-12q+27]\leqslant 81$

$\Leftrightarrow (3-q)(7q^2-27q+27)\geqslant 0$ luôn đúng.

[dogsteven]

Bài 3. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

$\dfrac{27(a^4+b^4+c^4)}{(a+b+c)^3}+(a+b+c)+(a+b+c)+(a+b+c) \geqslant 4\sqrt[4]{27(a^4+b^4+c^4)}$

$\Leftrightarrow \dfrac{27(a^4+b^4+c^4)}{8(a+b+c)^3}+\dfrac{3}{8}(a+b+c) \geqslant \dfrac{\sqrt[4]{27(a^4+b^4+c^4)}}{2}$

Do đó ta cần chứng minh: $\dfrac{8a^2}{b+c}+\dfrac{8b^2}{c+a}+\dfrac{8c^2}{a+b} \geqslant \dfrac{27(a^4+b^4+c^4)}{(a+b+c)^3}+3(a+b+c)$

Chuẩn hóa $a+b+c=3$ thì bất đẳng thức trở thành: $\sum \left(\dfrac{8a^2}{3-a}-a^4-3\right)\geqslant 0$

Ta sẽ chứng minh với mọi $x\in (0,3)$ thì ta luôn có $\dfrac{8x^2}{3-x}-x^4-3 \geqslant 6x-6 \Leftrightarrow (x-1)^2(x^3-x^2-3x+9) \geqslant 0$ luôn đúng vì $x^3-x^2-3x+9>x^3-2x^2-4x+9=x^2(x-2)-4(x-2)+1=(x-2)^2(x+2)+1>0$

$\Rightarrow \sum \left(\dfrac{8a^2}{3-a}-a^4-3\right) \geqslant 6(a+b+c-3)=0$

Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$