Chủ đề này có 1 trả lời

[huykinhcan99]

Trong ba số $a$, $b$, $c$ không âm không có hai số nào đồng thời bằng $0$. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{a^4}{b^2+c^2}+\dfrac{b^4}{c^2+a^2}+\dfrac{c^4}{a^2+b^2} \geqslant \dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{b^3}{c+a}+\dfrac{c^3}{a+b}$$

[duythanbg]

Lời giải : 

 

$\sum \frac{a^4}{b^2+c^2}-\sum \frac{a^3}{b+c}=\sum \frac{a^3(ab+ac-b^2-c^2)}{(b+c)(b^2+c^2)}=\sum \frac{a^3(b(a-b)-c(c-a))}{(b+c)(b^2+c^2)}$

$=\sum \left ( \frac{a^3b(a-b)}{(b+c)(b^2+c^2)}-\frac{ca^3(c-a)}{(b+c)(b^2+c^2)} \right )=\sum \left ( \frac{a^3b(a-b)}{(b+c)(b^2+c^2)}-\frac{ab^3(a-b)}{(c+a)(c^2+a^2)} \right )$

$= \sum ab(a-b)\left ( \frac{a^2}{(b+c)(b^2+c^2)}-\frac{b^2}{(c+a)(c^2+a^2)} \right )=\sum S_{c}(a-b)^2$

 

Với $S_{c}=\frac{ab(a^4+b^4+\sum a^2b^2+\sum ab(a^2+b^2) }{(a+c)(b+c)(a^2+c^2)(b^2+c^2)}$