Chủ đề này có 4 trả lời

[tahuudang8c]

Cho 2 số không âm a và b thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=a+b$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 $S=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 25-02-2015 - 14:38

[vda2000]

Cho mình hỏi đây phải đề thi tỉnh Bắc Giang lớp 8 năm 2012-2013 nhỉ?

Ta có:

$S=\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}-\frac{1}{a+1}-\frac{1}{b+1}$

$\rightarrow S=2-(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1})\leq 2-\frac{4}{a+b+2}$ $(1)$

Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức $Bunyakovsky$, ta có:

$2(a^2+b^2)\geq(a+b)^2$

$\rightarrow 2(a+b)\geq (a+b)^2$

$\rightarrow a+b\leq 2$

$\rightarrow\frac{4}{a+b+2}\geq\frac{4}{2+2}=1$ $(2)$

Từ $(1),(2)$ $\rightarrow\ S\leq 2-1=1$

Dấu $"='$ xảy ra $\leftrightarrow a=b=1$

Vậy $max S=1$ $\leftrightarrow a=b=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 25-02-2015 - 17:24

[Dinh Xuan Hung]

Cho 2 số không âm a và b thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=a+b$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 $S=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}$

$S=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\leq \frac{a}{2\sqrt{a}}+\frac{b}{2\sqrt{b}}=\frac{1}{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b})\leq \frac{1}{2}\sqrt{2(a+b)}$

Lại có :$2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2\Leftrightarrow 2(a+b)\geq (a+b)^2\Leftrightarrow a+b\leq 2\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt{2(a+b)}\leq \frac{1}{2}.2=1$

$\Rightarrow S\leq 1$

DBXR khi a=b=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 25-02-2015 - 17:18

[Dinh Xuan Hung]

Cho mình hỏi đây phải đề thi tỉnh Bắc Giang lớp 8 năm 2012-2013 nhỉ?

Ta có:

$S=\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}-\frac{1}{a+1}-\frac{1}{b+1}$

$\rightarrow S=2-(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1})\leq 2-\frac{4}{a+b+2}$ $(1)$

Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức $Bunyakovsky$, ta có:

$2(a^2+b^2)\geq(a+b)^2$

$\rightarrow 2(a+b)\geq (a+b)^2$

$\rightarrow a+b\leq 2$

$\rightarrow\frac{4}{a+b+2}\geq\frac{4}{2+2}=1$ $(2)$

Từ $(1),(2)$ $\rightarrow\ S\leq 2-1=3$

Dấu $"='$ xảy ra $\leftrightarrow a=b=1$

Vậy $max S=1$ $\leftrightarrow a=b=1$

2-1=3 hả nhầm rùi GTLN của là 1

[vda2000]

2-1=3 hả nhầm rùi GTLN của là 1

Viết nhầm, đã sửa