Chủ đề này có 9 trả lời

[Kirigaza Kazuto]

Cho các số thực dương a,b,c. a²+b²+c²=3 CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$

[nhungvienkimcuong]

Cho các số thực dương a,b,c. a²+b²+c²=3 CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$

dễ thấy $\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\geq \frac{1}{a+b+c}$

do đó ta chứng minh một bất đẳng thức chặt hơn là $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2} \ \ \ \forall a,b,c>0$

$\Leftrightarrow \sum S_c(a-b)^2\geq 0$

trong đó $S_a=\frac{b}{c}+\frac{a}{b}+\frac{2a}{c}-\frac{5}{2},S_b=\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{2b}{a}-\frac{5}{2},S_c=\frac{a}{b}+\frac{c}{a}+\frac{2c}{b}-\frac{5}{2}$

WLOG $a=max\left \{ a,b,c \right \}$

nếu $c\geq b$ thì $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}$ do đó ta chỉ xét $a\geq b\geq c$

do đó $S_a\geq 0$ và ta sẽ chứng minh $S_a+2S_b\geq 0,S_c+2S_b\geq 0,S_b+S_c\geq 0$

tới đây chứng minh các đẳng thức trên đúng là theo tiêu chuẩn mấy đó của $SOS$ thì bđt được chứng minh

 

U-Th

[Kirigaza Kazuto]

ko có cách khác á , nhiều vấn đề chẳng hiểu 

[binhnhaukhong]

Cách khác bằng $p,q,r$:http://diendantoanho...rac9a2b2c2abc2/

[dogsteven]

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geqslant \dfrac{2(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2-3}$

Đặt $t=a+b+c$ rồi biến đổi tương đương là ra $(2t+3)(t-3)^2\geqslant 0$ luôn đúng.

[dogsteven]

http://diendantoanho...rac9a2b2c2abc2/

[binhnhaukhong]

1 BĐT khác nữa đơn giản hơn:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\geq \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{\sqrt[3]{abc}}$.

Chỉ cần chuẩn hóa điều kiện là cm đc.

[longatk08]

http://diendantoanho...rac9a2b2c2abc2/

Bạn có thể giải thích tại sao lại chỉ xét TH a>=b>=c mà không xét ngc lại?Thanks!

[112]

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^{2}}{ab}+\frac{b^{2}}{bc}+\frac{c^{2}}{ca}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}=\sqrt{\frac{(a+b+c)^{4}}{(ab+bc+ca)^{2}}}=\sqrt{\frac{(a+b+c)^{6}}{(ab+bc+ca)^{2}(a+b+c)^{2}}}\geq \sqrt{\frac{27(ab+bc+ca)^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(ab+bc+ca)^{2}(a+b+c)^{2}}}=\frac{9}{a+b+c}$

[nguyenhongsonk612]

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^{2}}{ab}+\frac{b^{2}}{bc}+\frac{c^{2}}{ca}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}=\sqrt{\frac{(a+b+c)^{4}}{(ab+bc+ca)^{2}}}=$$\sqrt{\frac{(a+b+c)^{6}}{(ab+bc+ca)^{2}(a+b+c)^{2}}}\geq \sqrt{\frac{27(ab+bc+ca)^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(ab+bc+ca)^{2}(a+b+c)^{2}}}$$=\frac{9}{a+b+c}$

Chỗ này có vẻ  không đúng rồi!! $(a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)$