Chủ đề này có 4 trả lời

[manhhung2013]

Cho a, b, c$> 0$ ; abc=1. Tìm GTLN: $\frac{1}{a+2b+3}+\frac{1}{b+2c+3}+\frac{1}{c+2a+3}$

[hoaihhbg]

Ta có : $a+2b+3=a+b+b+1+2 \geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{b}+2=2(\sqrt{ab}+\sqrt{b}+1)$

$\Rightarrow \frac{1}{a+2b+3} \leq \frac{1}{2()}$

cmtt, ta có: $\Rightarrow \frac{1}{b+2c+3} \leq \frac{1}{2(\sqrt{bc}+\sqrt{c}+1)}$

$\Rightarrow \frac{1}{c+2a+3}  \leq \frac{1}{2(\sqrt{ac}+\sqrt{a}+1)}$

Khi đó, BT $\leq  \frac{1}{2}\left (\frac{ 1}{\sqrt{ab}+\sqrt{b}+1}+\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{c}+1}+\frac{1}{\sqrt{ac}+\sqrt{a}+1}\right )$

Dễ dàng chứng minh dc $\left (\frac{ 1}{\sqrt{ab}+\sqrt{b}+1}+\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{c}+1}+\frac{1}{\sqrt{ac}+\sqrt{a}+1}\right )=1(do abc=1)$

Khi đó, BT $\leq  \frac{1}{2}$

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoaihhbg: 20-03-2015 - 18:59

[JayVuTF]

Cho a, b, c$> 0$ ; abc=1. Tìm GTLN: $\frac{1}{a+2b+3}+\frac{1}{b+2c+3}+\frac{1}{c+2a+3}$

$a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt{a^2b^2c^2}=3$

 

Ta có: $a^2+2b+3=a^2+2b+1+2 \geq 2(a+b+1)$

 

Tương tự ta được:

 

$VT \leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+b+1}+\dfrac{b}{b+c+1} + \dfrac{c}{c+a+1)}$

 

Ta sẽ cm $\dfrac{a}{a+b+1}+\dfrac{b}{b+c+1}+\dfrac{c}{c+a+1} \leq 1$

 

$\Leftrightarrow \dfrac{-b-1}{a+b+1}+\dfrac{-c-1}{b+c+1}+\dfrac{-a-1}{c+a+1} \leq -2$

 

$\Leftrightarrow \dfrac{b+1}{a+b+1}+\dfrac{c+1}{b+c+1}+\dfrac{a+1}{c+a+1} \geq 2$

 

$\Leftrightarrow \dfrac{(b+1)^2}{(b+1)(a+b+1)}+\dfrac{(c+1)^2}{(c+1)(b+c+1)}+\dfrac{(a+1)^2}{(a+1)(c+a+1)} \geq 2$ (*)

 

Theo Cauchy-Schwarz: 

 

$VT(*) \geq \dfrac{(a+b+c+3)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b+c)+3}$

 

Mà $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b+c)+3\leq \dfrac{1}{2}[a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)+6(a+b+c)+9]$

 

$\leq \dfrac{1}{2}(a+b+c+3)^2$

 

$\Rightarrow VT(*) \geq 2=VP(*)$

 

Vậy bđt được cm

 

Nguon HM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JayVuTF: 20-03-2015 - 21:54

[baotranthaithuy]

 

$a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt{a^2b^2c^2}=3$

 

Ta có: $a^2+2b+3=a^2+2b+1+2 \geq 2(a+b+1)$

 

Tương tự ta được:

 

$VT \leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+b+1}+\dfrac{b}{b+c+1} + \dfrac{c}{c+a+1)}$

 

Ta sẽ cm $\dfrac{a}{a+b+1}+\dfrac{b}{b+c+1}+\dfrac{c}{c+a+1} \leq 1$

 

$\Leftrightarrow \dfrac{-b-1}{a+b+1}+\dfrac{-c-1}{b+c+1}+\dfrac{-a-1}{c+a+1} \leq -2$

 

$\Leftrightarrow \dfrac{b+1}{a+b+1}+\dfrac{c+1}{b+c+1}+\dfrac{a+1}{c+a+1} \geq 2$

 

$\Leftrightarrow \dfrac{(b+1)^2}{(b+1)(a+b+1)}+\dfrac{(c+1)^2}{(c+1)(b+c+1)}+\dfrac{(a+1)^2}{(a+1)(c+a+1)} \geq 2$ (*)

 

Theo Cauchy-Schwarz: 

 

$VT(*) \geq \dfrac{(a+b+c+3)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b+c)+3}$

 

Mà $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b+c)+3\leq \dfrac{1}{2}[a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)+6(a+b+c)+9]$

 

$\leq \dfrac{1}{2}(a+b+c+3)^2$

 

$\Rightarrow VT(*) \geq 2=VP(*)$

 

Vậy bđt được cm

 

Nguon HM

 

chỗ màu đỏ sai dề thì phải.

ở mẫu là $a$ chứ không phải $a^2$

[Lee LOng]

Đặt $a=x^{2};b=y^{2};c=z^{2}\Rightarrow xyz=1$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a+2b+3}=\sum \frac{1}{(x^{2}+y^{2})+(y^{2}+1)+2}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{1}{xy+y+1}=\frac{1}{2}$