Chủ đề này có 1 trả lời

[butbimauxanh1629]

Đề bài: Cho tam giác ABC, lấy điểm E và F thuộc BC sao cho góc BAE bằng góc FAC. Từ A kẻ phân giác AD của góc EAF ( D thuộc BC). Chứng minh: $\frac{BE}{CE}.\frac{BF}{CF}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}$

[Phung Quang Minh]

Đề bài: Cho tam giác ABC, lấy điểm E và F thuộc BC sao cho góc BAE bằng góc FAC. Từ A kẻ phân giác AD của góc EAF ( D thuộc BC). Chứng minh: $\frac{BE}{CE}.\frac{BF}{CF}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}$

-Kẻ EH vuông góc với AB; FK vuông góc với AB; FM vuông góc với AC; EN vuông góc với AC (H;K thuộc AB và M;N thuộc AC).

Từ D kẻ DI vuông góc với AB; DG vuông góc với AC (I thuộc AB; G thuộc AC).

-Vì HE//DI => BE/BD= HE/ID (1).

-Vì MF//DG => CF/CD= FM/DG (2).

-Từ (1);(2) => BE/CF. CD/BD= HE/ID :FM/DG= HE/FM (Do DI=DG) (3).

-Tam giác HAE đồng dạng với tam giác MAF (g.g) => HE/MF =AE/AF (4).

-Từ (3);(4) => BE/CF. CD/BD= AE/AF (5).

-Vì DI//KF => BD/BF= DI/KF (6).

-Vì DG//EN => CD/CE= DG/EN (7).

-Từ (6);(7) =>CD/CE :BD/BF= BF/CE. CD/BD= DG/EN: DI/KF= KF/EN (8).

-Tam giác KAF đồng dạng với tam giác NAE (g.g) => KF/FEN= AF/AE (9).

-Từ (8);(9) => BF/CE. CD/BD= AF/AE (10).

-Lấy (5) nhân với (10), ta có: BE/CF. CD/BD. BF/CE. CD/BD= AE/AF. AF/AE= 1.

=> BE/CE.  BF/CF. (CD/BD)^2= 1. Vì AD là phân giác của góc BAC => CD/BD= AC/AB => (CD/BD)^2= (AC/AB)^2.

-Từ 2 điều trên => BE/CE. BF/CF. (AC/AB)^2= 1.

=> BE/CE. BF/CF= (AB/AC)^2 (đpcm).