Chủ đề này có 4 trả lời

[the man]

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

$\sum \frac{ab}{c(c+a)}\geq \sum \frac{a}{c+a}$

[Chung Anh]

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

$\sum \frac{ab}{c(c+a)}\geq \sum \frac{a}{c+a}$

Ta có $BĐT\Leftrightarrow \sum \frac{ab}{c(c+a)}-\sum \frac{a}{c+a}+3\geq 3 $

Lại có $\frac{ab}{c(c+a)}-\frac{a}{c+a}+1=\frac{ab-ac+c^2+ca}{c(c+a)}=\frac{c^2+ab}{c(c+a)} $

Nên ta cần chứng minh $\sum \frac{c^2+ab}{c(c+a)}\geq 3 $

Theo AM-GM có $\sum \frac{c^2+ab}{c(c+a)}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(c^2+ab)(b^2+ac)(a^2+bc)}{abc(c+a)(b+c)(a+b)}} $          (*)

Có $(c^2+ab)(b^2+ca)=bc(a^2+bc)+a(c^3+b^3)\geq bc(a^2+bc)+\frac{a(b+c)^3}{4}\geq \sqrt{abc(a^2+bc)(b+c)^3} $ 

Thiết lập các BĐT tương tự nhân lại có $(c^2+ab)(b^2+ca)(a^2+bc)\geq abc(c+a)(b+c)(a+b)$                                                (**)

=>đpcm      

Dấu bằng xảy ra <=> $a=b=c$                                

[binhnhaukhong]

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{a+b}+\frac{a+c}{b+c}$

BĐT này đc viết lại dưới dạng:

$[\frac{1}{ab}-\frac{1}{(a+c)(b+c)}](a-b)^2+[\frac{1}{ac}-\frac{1}{(b+c)(b+a)}](a-c)(b-c)\geq 0$

Chỉ cần giả sử $c=min${$a,b,c$} ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 28-03-2015 - 16:31

[yeudiendanlamlam]

$bc(a^2+bc)+a(c^3+b^3)\geq bc(a^2+bc)+\frac{a(b+c)^3}{4}$

                

mình chưa hiểu chỗ này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeudiendanlamlam: 03-04-2015 - 19:17

[rainbow99]

mình chưa hiểu chỗ này

Ta có: $4(b^{3}+c^{3})\geq (b+c)^{3}$( phân tích ra rồi chuyển vế là cm được)