Chủ đề này có 5 trả lời

[shk202]

cho x,y,z là các số dương thỏa mãn $xy\geq 1$ và $z\geq 1$. Tìm GTNN của biểu thức 

$P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{z^3+2}{3(xy+1)}$

[HoangVienDuy]

$P\geq \frac{x^{2}}{xy+x}+\frac{y^{2}}{xy+y}+\frac{3}{3(xy+1)}=\frac{x^{2}}{xy+x}+\frac{y^{2}}{xy+y}+\frac{1}{xy+1}\geq \frac{(x+y+1)^{2}}{3xy+x+y+1}=\frac{(x+y+1)^{2}}{x+y+1+4xy-xy}=\frac{(x+y+1)^{2}}{x+y+1-1+(x+y)^{2}}=\frac{(x+y+1)^{2}}{(x+y+1)(x+y)}=\frac{x+y+1}{x+y}=1+\frac{1}{x+y}\geq \frac{3}{2}$

[shk202]

bước cuối mình không hiểu lắm bạn giải thích kĩ hơn chút được không

[25 minutes]

$P\geq \frac{x^{2}}{xy+x}+\frac{y^{2}}{xy+y}+\frac{3}{3(xy+1)}=\frac{x^{2}}{xy+x}+\frac{y^{2}}{xy+y}+\frac{1}{xy+1}\geq \frac{(x+y+1)^{2}}{3xy+x+y+1}=\frac{(x+y+1)^{2}}{x+y+1+4xy-xy}=\frac{(x+y+1)^{2}}{x+y+1-1+(x+y)^{2}}=\frac{(x+y+1)^{2}}{(x+y+1)(x+y)}=\frac{x+y+1}{x+y}=1+\frac{1}{x+y}\geq \frac{3}{2}$

Chỗ này không ổn lắm vì $x+y \geqslant 2$

 

cho x,y,z là các số dương thỏa mãn $xy\geq 1$ và $z\geq 1$. Tìm GTNN của biểu thức 

$P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{z^3+2}{3(xy+1)}$

Do $z \geqslant 1$ nên 

$P\geqslant \frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{1}{xy+1}\geqslant \frac{(x+y)^2}{2xy+x+y}+\frac{1}{xy+1}\geqslant \frac{(x+y)^2}{\frac{(x+y)^2}{2}+x+y}+\frac{1}{\frac{(x+y)^2}{4}+1}$

Đến đây bạn đặt ẩn $t=x+y \geqslant 2$ rồi khảo sát hàm số.

[shk202]

bước hai chỗ tử số mình không hiểu lắm bạn giảng giải một chút được không  bạn thông cảm tại mình hơi dốt

[25 minutes]

bước hai chỗ tử số mình không hiểu lắm bạn giảng giải một chút được không  bạn thông cảm tại mình hơi dốt

Mình áp dụng Cauchy-Schwarzt dạng Angel $\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}\geqslant \frac{(x_1+x_2)^2}{y_1+y_2}$

Khi đó $\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}\geqslant \frac{(x+y)^2}{2xy+x+y}$

Sau đó là AM-GM