Chủ đề này có 2 trả lời

[vnhero]

Cho $x^{3} - y^{3} - z^{3} = 3xyz$ và $x^{2} = 2(x+y)$

Tìm các số nguyên dương x; y; z

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 05-04-2015 - 22:11

[rainbow99]

Cho $x^{3} - y^{3} - z^{3} = 3xyz$ và $x^{2} = 2(x+y)$(1)

Tìm các số nguyên dương x; y; z

C1: Ta có: $x^{3}-y^{3}-z^{3}=3xyz\Leftrightarrow x^{3}-3xyz=y^{3}+z^{3}\Leftrightarrow x(x^{2}-3yz)=y^{3}+z^{3}$

$\Rightarrow x^{2}-3yz>0\Leftrightarrow 2y+2z-3yz>0$

Với $y,z\geq 2$ ta có: $yz-y-z=y(z-1)-z\geq y-z\geq 0$ (Giả sử: $y\geq z$)

Với $z\geq y$ thì $yz-y-z=z(y-1)-y\geq z-y\geq 0$

$\Rightarrow 3yz>2yz\geq 2z+2y\Rightarrow 2y+2z-3yz<0$(Vô lí)

$\Rightarrow y=x=1$ (vì $y,z$ nguyên dương)

Thay vào $\Rightarrow x=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rainbow99: 06-04-2015 - 16:02

[rainbow99]

C2: $x^{3}-y^{3}-z^{3}=3xyz\Leftrightarrow (x-y)^{3}-z^{3}+3xy(x-y)-3xyz=0$

$\Leftrightarrow (x-y-z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+xz-yz)=0\Leftrightarrow x=y+z$

Mà $2(y+z)=x^{2}\Leftrightarrow x^{2}=2x\Leftrightarrow x=2$(Do $x>0$)

$\Rightarrow y+z=2\Rightarrow y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rainbow99: 06-04-2015 - 16:07