Chủ đề này có 1 trả lời

[kudoshinichihv99]

Chứng minh $p^{p+1}+(p+1)^{p}$ không là số chính phương với p là số nguyên tố.

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 07-04-2015 - 17:41

[My Linh Vietnamese]

Giả sử tồn tại số nguyên tố $p$ thỏa mãn bài toán

Với $p=2$ thay vào ta thấy thỏa mãn

Với $p \ge 3$ đặt : $p^{p+1}+(p+1)^p=a^2 \ (a\in \mathbb{Z}^+)

$\Leftrightarrow \left ( a+p^{\frac{p+1}{2}} \right )\left ( a-p^{\frac{p+1}{2}} \right )=(p+1)^p=(2uv)^p$ với $p+1=2uv,(u,v)=1$  $(1)$

Ta thấy:

♥ $a+p^{\frac{p+1}{2}}$ và $a-p^{\frac{p+1}{2}}$ cùng chia hết cho 2 nhưng không cùng chia hết cho $4$ $(2)$

Thật vậy, nếu : $a+p^{\frac{p+1}{2}}\equiv a-p^{\frac{p+1}{2}}\equiv 0(mod \ 4)\Rightarrow 2p^{\frac{p+1}{2}}\equiv 0(mod \ 4)\Rightarrow 2\mid p$ , điều này vô lý!

♥ $a+p^{\frac{p+1}{2}},a-p^{\frac{p+1}{2}}$ có ước chung thực sự là $2$ $(3)$

Thật vậy, nếu: $d\mid \left ( a+p^{\frac{p+1}{2}},a-p^{\frac{p+1}{2}} \right )$ mà $d>2$ thì $d\mid 2p^{\frac{p+1}{2}}\Rightarrow d\mid p$, điều này vô lý!

Từ $(1),(2),(3)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+p^{\frac{p+1}{2}}=2^{p-1}u^p\\a-p^{\frac{p+1}{2}}=2v^p \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} a+p^{\frac{p+1}{2}}=2v^p\\a-p^{\frac{p+1}{2}}=2^{p-1}u^p \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow p^{\frac{p+1}{2}}=\left | 2^{p-2}u^p-v^p \right |\Rightarrow 2^{p-2}u^p\equiv v^p(mod \ p)$

Mà: $\left\{\begin{matrix} u^p\equiv u(mod \ p)\\v^p\equiv v(mod \ p) \\2^{p-1}\equiv 1(mod\ p) \end{matrix}\right.\Rightarrow u\equiv 2v(mod \ p)$

mà: $p+1=2uv\Rightarrow p>u,2v\Rightarrow u=2v\Rightarrow u=2,v=1\Rightarrow p=3\Rightarrow a^2=145$

Vô lý

Vậy điều giải sử là sai . ĐPCM