6 replies to this topic

[thuylinh284]

Cho $x,y,z\geq -1$ và x + y + z = 1. Tim GTLN của $P= \frac{x}{1+x^{2}}+\frac{y}{1+y^{2}}+\frac{z}{1+z^{2}}$

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Edited by Ngoc Hung, 28-04-2015 - 16:34.

[Dinh Xuan Hung]

Không mất tính tổng quát giả sử$\left\{\begin{matrix} x\geq y\geq z\geq -1 & & \\ x+y+z=\frac{1}{3} & & \end{matrix}\right. \Rightarrow x\geq \frac{1}{3}\geq z$

TH1:$z\geq -\frac{3}{4}$

$\frac{9}{10}-\left ( \sum \frac{x}{x^2+1} \right )=\sum \left ( \frac{18x}{25}+\frac{5}{30}-\frac{x}{x^2+1} \right )= \sum \frac{(3x-1)^2(4x+3)}{50(x^2+1)}\geq 0$

TH2:$z\leq -\frac{3}{4}$

AM-GM:

$\left\{\begin{matrix} x^2+1\geq 2x & & \\ y^2+1\geq 2y & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \sum \frac{x}{x^2+1}\leq 1$

Ta có:$\frac{z}{z^2+1}\leq -\frac{1}{10}\Leftrightarrow -5-2\sqrt{6}\leq z\leq -\frac{3}{4}$

(luôn đúng)

Khi đó cộng vế với 

vế ta có ngay điều phải chứng minh. 

Edited by Dinh Xuan Hung, 28-04-2015 - 20:24.

[Nguyen Minh Hai]

 

Không mất tính tổng quát giả sử$\left\{\begin{matrix} a\geq b\geq c\geq -1 & & \\ a+b+c=\frac{1}{3} & & \end{matrix}\right. \Rightarrow a\geq \frac{1}{3}\geq c$

TH1:$c\geq -\frac{3}{4}$

$\frac{9}{10}-\left ( \sum \frac{x}{x^2+1} \right )=\sum \left ( \frac{18a}{25}+\frac{5}{30}-\frac{a}{a^2+1} \right )= \sum \frac{(3a-1)^2(4a+3)}{50(a^2+1)}\geq 0$

TH2:$c\leq -\frac{3}{4}$

AM-GM:

$\left\{\begin{matrix} a^2+1\geq 2a & & \\ b^2+1\geq 2b & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \sum \frac{a}{a^2+1}\leq 1$

Ta có:$\frac{z}{z^2+1}\leq -\frac{1}{10}\Leftrightarrow -5-2\sqrt{6}\leq z\leq -\frac{3}{4}$

(luôn đúng)

Khi đó cộng vế với 

vế ta có ngay điều phải chứng minh. 

 

Coi lại các biến đi...gì mà vừa $a,b,c$ vừa $x,y,z$ thế

@Dinh Xuan Hung:Mình nhầm lúc này vội đi học chưa kịp sửa

Edited by Dinh Xuan Hung, 28-04-2015 - 20:25.

[tuananh2000]

Cho $x,y,z\geq -1$ và x + y + z = 1. Tim GTLN của $P= \frac{x}{1+x^{2}}+\frac{y}{1+y^{2}}+\frac{z}{1+z^{2}}$

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Dự đoán điểm rơi khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

$\sum \frac{x}{1+x^{2}}=\sum \frac{1}{\frac{1}{x}+x}=\sum \frac{1}{x+\frac{9}{x}+\frac{8}{9x}}\sum \leq \frac{1}{\frac{2}{3}+\frac{8}{9.\frac{1}{3}}}=\frac{9}{10}$

[nhungvienkimcuong]

Cho $x,y,z\geq -1$ và x + y + z = 1. Tim GTLN của $P= \frac{x}{1+x^{2}}+\frac{y}{1+y^{2}}+\frac{z}{1+z^{2}}$

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

có thể mở rộng bài toán với $x,y,z$ là các số thực

 

Dự đoán điểm rơi khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

$\sum \frac{x}{1+x^{2}}=\sum \frac{1}{\frac{1}{x}+x}=\sum \frac{1}{x+\frac{9}{x}+\frac{8}{9x}}\sum \leq \frac{1}{\frac{2}{3}+\frac{8}{9.\frac{1}{3}}}=\frac{9}{10}$

$x$ không có dương nên không làm được như trên đâu em

Edited by nhungvienkimcuong, 30-04-2015 - 17:13.

[thuylinh284]

bạn nào có biết cách đạo hàm không

Edited by thuylinh284, 29-04-2015 - 08:44.

[nguyenhongsonk612]

Cho $x,y,z\geq -1$ và x + y + z = 1. Tim GTLN của $P= \frac{x}{1+x^{2}}+\frac{y}{1+y^{2}}+\frac{z}{1+z^{2}}$

 

 

Bài này rất hay, có thể tổng quát lên thành các số thực

Mình sẽ làm như sau

Ở đây ta coi như đã biết max $=\frac{9}{10}$ nên ta sẽ đi C/m $P\leq \frac{9}{10}$

Giải

Vì $\prod \begin{pmatrix} x-\frac{1}{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y-\frac{1}{3} \end{pmatrix}=\prod \begin{pmatrix} x-\frac{1}{3} \end{pmatrix}^2\geq 0$

$\Rightarrow$ Tồn tại ít nhất một trong $3$ số $\begin{pmatrix} x-\frac{1}{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y-\frac{1}{3} \end{pmatrix};\begin{pmatrix} y-\frac{1}{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} z-\frac{1}{3} \end{pmatrix};\begin{pmatrix} z-\frac{1}{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-\frac{1}{3} \end{pmatrix}$ không âm

Không mất tính tổng quát, giả sử $\begin{pmatrix} x-\frac{1}{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y-\frac{1}{3} \end{pmatrix}\geq 0$

$\Rightarrow x^2+y^2=\frac{1}{9}+\begin{pmatrix} x+y-\frac{1}{3} \end{pmatrix}^2-2\begin{pmatrix} x-\frac{1}{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y-\frac{1}{3} \end{pmatrix}\leq \frac{1}{9}+\begin{pmatrix} \frac{2}{3}-z \end{pmatrix}^2=\frac{9z^2-12z+5}{9}$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+2\leq \frac{9z^2-12z+23}{9}$

Ta thấy $\frac{1}{2}-\frac{x}{1+x^2}=\frac{(x-1)^2}{2(x^2+1)}$

Nên bài toán có thể chuyển về C/m 

$$\frac{(x-1)^2}{x^2+1}+\frac{(y-1)^2}{y^2+1}+\frac{(z-1)^2}{z^2+1}\geq \frac{6}{5}$$

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có

$VT\geq \frac{(2-x-y)^2}{x^2+y^2+2}+\frac{(z-1)^2}{z^2+1}\geq \frac{9(z+1)^2}{9z^2-12z+23}+\frac{(z-1)^2}{z^2+1}$

Giờ ta chỉ cần C/m

$$\frac{9(z+1)^2}{9z^2-12z+23}+\frac{(z-1)^2}{z^2+1}\geq \frac{6}{5}$$

BĐT này $\Leftrightarrow \begin{pmatrix} z-\frac{1}{3} \end{pmatrix}^2(36z^2+36z+198)\geq 0$ (luôn đúng)

Vậy ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Edited by nguyenhongsonk612, 02-05-2015 - 14:13.