Chủ đề này có 6 trả lời

[ngocanh4102000]

1) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:  $5x^{2}+8y^{2}=20412$

2) Với x, y là các số thực dương thỏa mãn $x+y\leq 1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )\sqrt{1+x^{2}y^{2}}$

3) Giả sử dãy số thực có thứ tự $x_{1}\leq x_{2}\leq ...\leq x_{192}$ thỏa mã điều kiện

    $x_{1}+x_{2}+...+x_{192}=0 ; \left | x_{1} \right |+\left | x_{2} \right |+...+\left |x_{192} \right |=2013$

CMR: $x_{192}-x_{1}\geq \frac{2013}{96}$

4) Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=\frac{9}{2} & & \\\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\left ( x+\frac{1}{y} \right ) =xy+\frac{1}{xy} & & \end{matrix}\right.$

5) Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số $\overline{abcde}$ sao cho $\overline{abc}=(10d+e)$ chia hết cho 101?

6) Giả sử a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn: abc + bcd + cad + bad = 1

 Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P=4(a^{3}+b^{3}+c^{3})+9d^{3}$

[dogsteven]

Bài 1. $20412\vdots 2$ và $8y^2\vdots 2$ nên $x\vdots 2$, đặt $x=2x_1$, phương trình trở thành:

$5x_1^2+2y^2=5103$. Vì $5103\vdots 3$ nên $5x_1^2+2y^2\vdots 3\Leftrightarrow x_1^2+y^2\vdots 3$ hay $x_1$ và $y_1$ cũng chia hết cho $3$

Đặt $x_1=3x_2$ và $y=3y_1$ thì phương trình trở thành $5x_2^2+2y_1^2=567$

Suy luận như thế ta đặt $x_2=3x_3$ và $y_1=3y_2$, ta được $5x_3^2+2y_2^2=63$

Đặt $x_3=3x_4$ và $y_2=3y_3$ ta được $5x_4^2+2y_3^2=7$

Nếu $x_4.y_3\ne 0$ thì $x_4=\pm 1$ và $y_3=\pm 1$

Nếu $x_4=0$ hoặc $y_3=0$ thì phương trình vô nghiệm.

Vậy $x=\pm 54$ và $y=\pm 27$

[dogsteven]

Bài 5. $\overline{abc}=(10d+e)\Leftrightarrow \overline{abcde}=101(10d+e)\Rightarrow \overline{abcde}\vdots 11$

[vda2000]

2) Với x, y là các số thực dương thỏa mãn $x+y\leq 1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )\sqrt{1+x^{2}y^{2}}$

Áp dụng Cauchy:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 2.\sqrt{\frac{1}{xy}}

$\Rightarrow(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}).\sqrt{1+x^2y^2}\geq 2.\sqrt{\frac{1+x^2y^2}{xy}}$

$\Rightarrow P\geq 2.\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}$

Áp dụng Cauchy:

$\frac{1}{16xy}+xy\geq\frac{1}{2}$

$1\geq x+y\geq 2.\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{15}{16xy}\geq\frac{15}{16.\frac{1}{4}}=\frac{15}{4}$

Do đó, $\frac{1}{xy}+xy\geq 4$

$\Rightarrow P\geq\sqrt{17}$

[vda2000]

3) Giả sử dãy số thực có thứ tự $x_{1}\leq x_{2}\leq ...\leq x_{192}$ thỏa mã điều kiện

    $x_{1}+x_{2}+...+x_{192}=0 ; \left | x_{1} \right |+\left | x_{2} \right |+...+\left |x_{192} \right |=2013$

CMR: $x_{192}-x_{1}\geq \frac{2013}{96}$

6) Giả sử a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn: abc + bcd + cad + bad = 1

 Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P=4(a^{3}+b^{3}+c^{3})+9d^{3}$

 

 

 

 

 

 

3) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 09-05-2015 - 16:12

[vda2000]

4) Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=\frac{9}{2} & & \\\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\left ( x+\frac{1}{y} \right ) =xy+\frac{1}{xy} & & \end{matrix}\right.$

Đặt $x+\frac{1}{y}=a; y+\frac{1}{x}=b$. Ta có:

$\left\{\begin{matrix} a+b=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y} & \\ ab=(x+\frac{1}{y})(y+\frac{1}{x})=xy+\frac{1}{xy}+2 \end{matrix}\right.$

Do đó, hpt viết lại dạng:

$\left\{\begin{matrix} a+b=\frac{9}{2} & \\ \frac{1}{4}+\frac{3}{2}.a=ab-2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=\frac{9}{2}-a & \\ \frac{1}{4}+\frac{3}{2}.a=(\frac{9}{2}-a).a-2\end{matrix}\right.$

Đến đây chắc giải được!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 09-05-2015 - 16:20

[the man]

 

2) Với x, y là các số thực dương thỏa mãn $x+y\leq 1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )\sqrt{1+x^{2}y^{2}}$

 

Một cách khác

$P.\sqrt{17}=\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right ).\sqrt{(1+x^2y^2)(16+1)}$

  $\geq \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right ).(4+xy)$

  $=\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+x+y=(\frac{1}{4x}+x)+(\frac{1}{4y}+y)+\frac{15}{4}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )$

  $\geq 1+1+\frac{15}{4}.\frac{4}{x+y}\geq 17\Rightarrow P\geq \sqrt{17}$