Chủ đề này có 4 trả lời

[huukhangvn]

cho a,b,c>0 thỏa mãn: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

Chứng minh: $\frac{a^{2}}{a+bc}+\frac{b^{2}}{b+ac}+\frac{c^{2}}{c+ab}\geq \frac{a+b+c}{4}$

[khanghaxuan]

Đổi biến : $\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{x} & & \\ b=\frac{1}{y} & & \\ c=\frac{1}{z} & & \end{matrix}\right.$

Ta cần chứng minh : $\sum \frac{yz}{x^{2}+xyz}=\sum \frac{(yz)^{2}}{x^{2}yz+xy^{2}z^{2}}\geq \frac{(\sum xy)^{2}}{xyz(\sum x+\sum xy)}$

Đến đây , ta chỉ cần chứng minh : $\frac{\sum xy}{\sum x+\sum xy}\geq \frac{1}{4}\Leftrightarrow 3\sum xy\geq \sum x=1\Rightarrow \sum xy\geq \frac{1}{3}$

Mà điều này luôn đúng nên ta có ĐPCM

[chungtoiladantoan99]

Đổi biến : $\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{x} & & \\ b=\frac{1}{y} & & \\ c=\frac{1}{z} & & \end{matrix}\right.$

Ta cần chứng minh : $\sum \frac{yz}{x^{2}+xyz}=\sum \frac{(yz)^{2}}{x^{2}yz+xy^{2}z^{2}}\geq \frac{(\sum xy)^{2}}{xyz(\sum x+\sum xy)}$

Đến đây , ta chỉ cần chứng minh : $\frac{\sum xy}{\sum x+\sum xy}\geq \frac{1}{4}\Leftrightarrow 3\sum xy\geq \sum x=1\Rightarrow \sum xy\geq \frac{1}{3}$

Mà điều này luôn đúng nên ta có ĐPCM 

chứng minh $\sum xy\geq \frac{1}{3}$ đi

[hoctrocuaHolmes]

cho a,b,c>0 thỏa mãn: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

Chứng minh: $\frac{a^{2}}{a+bc}+\frac{b^{2}}{b+ac}+\frac{c^{2}}{c+ab}\geq \frac{a+b+c}{4}$

Theo gt ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc$

Ta có $\sum \frac{a^{2}}{a+bc}=\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+abc}=\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+bc+ca}=\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

$\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\geq \frac{3}{4}a$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự ta có 

$\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3}{4}(a+b+c)\Leftrightarrow \sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{a+b+c}{4}$

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh

[hoangson2598]

Đổi biến : $\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{x} & & \\ b=\frac{1}{y} & & \\ c=\frac{1}{z} & & \end{matrix}\right.$

Ta cần chứng minh : $\sum \frac{yz}{x^{2}+xyz}=\sum \frac{(yz)^{2}}{x^{2}yz+xy^{2}z^{2}}\geq \frac{(\sum xy)^{2}}{xyz(\sum x+\sum xy)}$

Đến đây , ta chỉ cần chứng minh : $\frac{\sum xy}{\sum x+\sum xy}\geq \frac{1}{4}\Leftrightarrow 3\sum xy\geq \sum x=1\Rightarrow \sum xy\geq \frac{1}{3}$

Mà điều này luôn đúng nên ta có ĐPCM

Ngược dấu mà!!