Chủ đề này có 4 trả lời

[namdang248]

Cho 3 số phân biệt a,b,c chứng minh rằng:

$\frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}+\frac{(b+c)^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{(c+a)^{2}}{(c-a)^{2}} \geqslant 2$

 

Chú ý:   Cách gõ công thức Toán.

              Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 25-05-2015 - 01:20

[tonarinototoro]

Cho 3 số phân biệt a,b,c chứng minh rằng:

$\frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}+\frac{(b+c)^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{(c+a)^{2}}{(c-a)^{2}} \geqslant 2$

đặt $(\frac{a+b}{a-b},\frac{b+c}{b-c},\frac{c+a}{c-a})\rightarrow (x,y,z)$

khi đó $\left ( x-1 \right )\left ( y-1 \right )\left ( z-1 \right )=\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )\left ( z+1 \right ) (=8\frac{abc}{\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )})$

$\Rightarrow xy+yz+zx=-1$

có $\left ( x+y+z \right )^{2}\geq 0\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq -2\left ( xy+yz+zx \right )=2$

dấu "=" xảy ra khi $x+y+z=0$ <=> ....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tonarinototoro: 24-05-2015 - 12:42

[Pham Quoc Thang]

Bạn chứng minh rằng: $ \frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{b+c}{b-c}.\frac{c+a}{c-a}+\frac{c+a}{c-a}.\frac{a+b}{a-b}=-1$
Mà: $ ( \frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a} )^2 \geq 0 , \forall a \neq b \neq c \in R $
Nên ta có đpcm

[namdang248]

Bạn chứng minh rằng: $ \frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{b+c}{b-c}.\frac{c+a}{c-a}+\frac{c+a}{c-a}.\frac{a+b}{a-b}=-1$
Mà: $ ( \frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a} )^2 \geq 0 , \forall a \neq b \neq c \in R $
Nên ta có đpcm

$ \frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{b+c}{b-c}.\frac{c+a}{c-a}+\frac{c+a}{c-a}.\frac{a+b}{a-b}=-1$

dùng cách nào ngắn nhất để chứng minh hở bạn??

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namdang248: 25-05-2015 - 08:23

[khanghaxuan]

$ \frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{b+c}{b-c}.\frac{c+a}{c-a}+\frac{c+a}{c-a}.\frac{a+b}{a-b}=-1$

dùng cách nào ngắn nhất để chứng minh hở bạn??

Đặt : $\left\{\begin{matrix} x=\frac{a+b}{a-b} & & \\ y=\frac{b+c}{b-c} & & \\ z=\frac{c+a}{c-a} & & \end{matrix}\right.$

Mặt khác ta có : $(x-1)(y-1)(z-1)=(x+1)(y+1)(z+1)$

                          $\Leftrightarrow -\sum xy-1=\sum xy+1\Leftrightarrow \sum xy=-1$ (ĐPCM )