Chủ đề này có 1 trả lời

[hakimanh]

 Chứng minh rằng $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{4\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n }} < 2$. Với $n \in {N^*}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 09-06-2015 - 23:56

[Avengers98]

 Chứng minh rằng $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{4\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n }} < 2$. Với $n \in {N^*}$

Chứng minh bài này bằng cách làm trội

có :$ \frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n(n+1)}=\sqrt{n}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$

      $=\sqrt{n}(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}})$

      $=(1+\sqrt{\frac{n}{n+1}})(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$

do $\frac{n}{n+1} <1$ nên $1+\sqrt{\frac{n}{n+1}}<2$

nên ta có: $ \frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}<2(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$

từ đó $VT$ $<2(1-\frac{1}{n+1}<2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Avengers98: 09-06-2015 - 14:03