Chủ đề này có 2 trả lời

[Quoc Tuan Qbdh]

Chứng minh rằng

a) $7^{10}+8^{10}<9^{10}$

b) $\sqrt[n-1]{n}>\sqrt[n]{n+1}$ $(n>1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 12-06-2015 - 20:46

[Hoangtheson2611]

$(\frac{9}{7}-\frac{8}{7})((\frac{9}{7})^{4}+(\frac{8}{7})^{4}+\frac{72}{7}.(\frac{81}{49}+\frac{72}{49}+\frac{64}{89})).(\frac{9^{5}}{7^{5}}+\frac{8^{5}}{7^{5}})>1=>((\frac{9}{7})^{5}-(\frac{8}{7})^{5})((\frac{9}{7})^{5}+(\frac{8}{7})^{5})>1

$(\frac{9}{7})^{10}-(\frac{8}{7})^{10}>1=>(\frac{9}{7})^{10}>1+(\frac{8}{7})^{10}=>7^{10}.(\frac{9}{7})^{10}>7^{10}.(1+(\frac{8}{7})^{10})=>9^{10}>8^{10}+7^{10}$

[ZzNightWalkerZz]

b) Điều phải chứng minh tương đương với $n^n>(n+1)^{n-1}$

Đặt $f(n)=n^n-(n+1)^{n-1};p(n)=n^n;q(n)=(n+1)^{n-1}$

$=>p'=n^n(ln(n)+1);q'=(n+1)^{n-1}.(\frac{n-1}{n+1}+ln(n+1))$

Ta sẽ chứng minh $\frac{n-1}{n+1}+ln(n+1)<ln(n) +1$

Với $n=1$ thì bất đẳng thức trên đúng

Với $n>1$ thì xét đạo hàm (khá dễ nên mình không chứng minh nữa)

$=>f'>(ln(n)+1).f$

Vậy hàm này luôn đồng biến nếu có giá trị nhỏ nhất của n khiến cho hàm có giá trị không âm. (Thử với n=1)

Ta có điều phải chứng minh

 

P/s Cách này có lẽ không hay lắm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzNightWalkerZz: 13-06-2015 - 08:20