Chủ đề này có 4 trả lời

[Cosette]

Có bao nhiêu cách bỏ 35 viên bi giống nhau vào 5 hộp khác nhau sao cho: mỗi hộp 1 và 2 không có 0, 1, 2, 7, 8, 9 hoặc 10 bi; hộp 3 ít nhất 2 và nhiều nhất 9 bi; và hộp 4 và 5 không giới hạn bi.

[an1712]

Có bao nhiêu cách bỏ 35 viên bi giống nhau vào 5 hộp khác nhau sao cho: mỗi hộp 1 và 2 không có 0, 1, 2, 7, 8, 9 hoặc 10 bi; hộp 3 ít nhất 2 và nhiều nhất 9 bi; và hộp 4 và 5 không giới hạn bi.

chia 16 Th dùng chia  kẹo 

[hxthanh]

Có bao nhiêu cách bỏ 35 viên bi giống nhau vào 5 hộp khác nhau sao cho: mỗi hộp 1 và 2 không có 0, 1, 2, 7, 8, 9 hoặc 10 bi; hộp 3 ít nhất 2 và nhiều nhất 9 bi; và hộp 4 và 5 không giới hạn bi.

$\left[\begin{aligned}&\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=35\\ 3\le x_1,x_2\le 6 \\ 2\le x_3\le 9\end{cases} \qquad(1)\\ &\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=35\\ 11\le x_1,x_2\\  2\le x_3\le 9\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x'_1+x'_2+x_3+x_4+x_5=13\\ x'_1= x_1-11,\;x'_2=x_2-11\\  2\le x_3\le 9\end{cases}\qquad(2)\end{aligned}\right.$

\begin{align*}S_1&=\sum_{x_1=3}^6\sum_{x_2=3}^6\sum_{x_3=2}^9C_{35-x_1-x_2-x_3+1}^1\\ &=\sum_{x_1=3}^6\sum_{x_2=3}^6\sum_{x_3=2}^9\left(C_{37-x_1-x_2-x_3}^2-C_{36-x_1-x_2-x_3}^2\right)\\ &=\sum_{x_1=3}^6\sum_{x_2=3}^6\left(C_{35-x_1-x_2}^2-C_{27-x_1-x_2}^2\right)\\ &=\sum_{x_1=3}^6\sum_{x_2=3}^6\left(C_{36-x_1-x_2}^3-C_{35-x_1-x_2}^3-C_{28-x_1-x_2}^3+C_{27-x_1-x_2}^3\right)\\ &=\sum_{x_1=3}^6\left(C_{33-x_1}^3-C_{29-x_1}^3-C_{25-x_1}^3+C_{21-x_1}^3\right)\\ & =\sum_{x_1=3}^6\left(C_{34-x_1}^4-C_{33-x_1}^4-C_{30-x_1}^4+C_{29-x_1}^4-C_{26-x_1}^4+C_{25-x_1}^4+C_{22-x_1}^4-C_{21-x_1}^4\right)\\ &=C_{31}^4-C_{27}^4-C_{27}^4+C_{23}^4-C_{23}^4+C_{19}^4+C_{19}^4-C_{15}^4\\ &=2752\\&\\ S_2&=\sum_{x_3=2}^9C_{13-x_3+3}^3=\sum_{x_3=2}^9\left(C_{17-x_3}^4-C_{16-x_3}^4\right)=C_{15}^4-C_7^4=1330\end{align*}

Số cách chia bi thỏa mãn đề bài là $S=S_1+S_2=2752+1330=4082$

[Cosette]

Có bao nhiêu cách bỏ 35 viên bi giống nhau vào 5 hộp khác nhau sao cho: mỗi hộp 1 và 2 không có 0, 1, 2, 7, 8, 9 hoặc 10 bi; hộp 3 ít nhất 2 và nhiều nhất 9 bi; và hộp 4 và 5 không giới hạn bi.

Em xin giải bằng pp hàm sinh.

Theo đề bài, ta lập được hàm sinh cho các hộp:

- Hộp 1 và 2:  

$x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+...=x^{3}\left ( 1+x+x^{2}+x^{3} \right )+x^{11}\left ( 1+x+x^{2}+... \right )=$

$=x^{3}\frac{1-x^{4}}{1-x}+\frac{x^{11}}{1-x}=x^{3}\frac{\left ( 1-x^{^{4}}+x^{^{8}} \right )}{1-x}$

- Hộp 3:

$x^{2}+x^{3}+x^{4}+....+x^{9}=x^{2}\left ( 1+x+x^{2}+....+x^{7}\right )=x^{2}{\left( \frac{1-x^{8}}{1-x} \right )}$

- Hộp 4 và 5:

$1+x+x^{2}+x^{3}+...=\frac{1}{1-x}$

Vậy ta có:

$G(x)=\left ( x^{3}\frac{\left ( 1-x^{4}+x^{8} \right )}{1-x} \right )^{2}.x^{2}\frac{1-x^{8}}{1-x}.\left ( \frac{1}{1-x} \right )^{2}=x^{8}\left ( 1-x^{4}+x^{^{8}} \right )^{2}\left ( 1-x^{^{8}} \right )\left ( 1-x \right )^{-5}$

$=\left ( x^{8}-2x^{12}+2x^{16}-2x^{24}+2x^{28}-x^{32} \right )\left ( 1-x \right )^{-5}$

Số hạng $x^{35}$ là:

$x^{8}C_{31}^{27}x^{27}-2x^{12}C_{27}^{23}x^{23}+2x^{16}C_{23}^{19}x^{19}-2x^{24}C_{15}^{11}x^{11}+2x^{28}C_{11}^{7}x^{7}-x^{32}C_{7}^{3}x^{3}$

Hệ số của $x^{35}$ cũng là số cách cho bi vào hộp thỏa ycđb:

$C_{31}^{27}-2C_{27}^{23}+2C_{23}^{19}-2C_{15}^{11}+2C_{11}^{7}-C_{7}^{3}$

$=31465-2.17550+2.8855-2.1365+2.330-35=11970$

[hxthanh]

 

...

$=\left ( x^{8}-2x^{12}+2x^{16}-2x^{24}+2x^{28}-x^{32} \right )\left ( 1-x \right )^{-5}$

Số hạng $x^{35}$ là:

$x^{8}C_{31}^{27}x^{27}-2x^{12}C_{27}^{23}x^{23}+2x^{16}C_{23}^{19}x^{19}-2x^{24}C_{15}^{11}x^{11}+2x^{28}C_{11}^{7}x^{7}-x^{32}C_{7}^{3}x^{3}$

Hệ số của $x^{35}$ cũng là số cách cho bi vào hộp thỏa ycđb:

$C_{31}^{27}-2C_{27}^{23}+2C_{23}^{19}-2C_{15}^{11}+2C_{11}^{7}-C_{7}^{3}$

$=31465-2.17550+2.8855-2.1365+2.330-35=11970$

 

Bài làm và kết quả của em hoàn toàn chính xác!

Cách làm trên của tôi còn thiếu hai trường hợp là $\begin{cases}3\le x_1\le 6\\x_2\ge 11\end{cases}$ và $\begin{cases}3\le x_2\le 6\\x_1\ge 11\end{cases}$

 

Tức là thêm 2 lần số nghiệm của phương trình:

$\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=35\\ 3\le x_1\le 6 \\ 11\le x_2 \\ 2\le x_3\le 9\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_1+x'_2+x_3+x_4+x_5=24\\ 3\le x_1\le 6 \\ x'_2=x_2-11 \\ 2\le x_3\le 9\end{cases} \qquad (3)$

\begin{align*}S_3&=\sum_{x_1=3}^6\sum_{x_3=2}^9 C_{24-x_1-x_3+2}^2 \\ &=\sum_{x_1=3}^6\sum_{x_3=2}^9 \left(C_{27-x_1-x_3}^3-C_{26-x_1-x_3}^3\right)\\ &=\sum_{x_1=3}^6 \left(C_{25-x_1}^3-C_{17-x_1}^3\right) \\ &=\sum_{x_1=3}^6 \left(C_{26-x_1}^4-C_{25-x_1}^4-C_{18-x_1}^4+C_{17-x_1}^4\right) \\ &= C_{23}^4-C_{19}^4-C_{15}^4+C_{11}^4 \\ &=3944\end{align*}

 

Như vậy kết quả chính xác phải là $S=S_1+S_2+2S_3=2752+1330+2.3944=11970$