Chủ đề này có 1 trả lời

[Hoang Tung 126]

   Bài toán: Cho dãy số  $x_{n}$ thỏa mãn : 

 

           $\left\{\begin{matrix} x_{1}=2,1 & \\ x_{n+1}=\frac{x_{n}-2+\sqrt{x_{n}^2+8x_{n}-4}}{2} & \end{matrix}\right.$ với mọi số tự nhiên $n\geq 1$

 

      Đặt $S_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{x_{k+1}^2-4}$ .

 

    Tìm $\lim_{n\rightarrow +\infty }S_{n}$

[Rias Gremory]

   Bài toán: Cho dãy số  $x_{n}$ thỏa mãn : 

 

           $\left\{\begin{matrix} x_{1}=2,1 & \\ x_{n+1}=\frac{x_{n}-2+\sqrt{x_{n}^2+8x_{n}-4}}{2} & \end{matrix}\right.$ với mọi số tự nhiên $n\geq 1$

 

      Đặt $S_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{x_{k+1}^2-4}$ .

 

    Tìm $\lịm_{n\rightarrow +\infty }S_{n}$

Dễ thấy $x_n\geq 2,1$ ( Dễ dàng bằng quy nạp )

Xét $x_{n+1}-x_n=\frac{x_n-2+\sqrt{x_n^2+8x_n-4}}{2}-x_n=\frac{\sqrt{(x_n+2)^2+(4x_n-8)}-(x_n+2)}{2}$

Vì $x_n\geq 2,1\Rightarrow 4x_n-8>0\Rightarrow x_{n+1}-x_n> 0$ hay dãy $(x_n)$ là dãy tăng

Giả sử dãy $(x_n)$ bị chặn trên, tức là dãy có giới hạn hữu hạn

$\Rightarrow$ tồn tại $a>0$ thõa mãn $limx_n=a,(a\geq 2,1)$

Từ giả thiết $a=\frac{a-2+\sqrt{a^2+8a-4}}{2}\Leftrightarrow a=2$ (vô lý )

Nên dãy $(x_n)$ không bị chặn trên hay $x_n \mapsto +\infty$

Ta có : $x_{n+1}=\frac{x_n-2+\sqrt{x_n^2+8x_n-4}}{2}\Leftrightarrow 2x_{n+1}-x_n+2=\sqrt{x_n^2+8x_n-4}$

$\Leftrightarrow (2x_{n+1}-x_n)^2+4(2x_{n+1}-x_n)+4=x_n^2+8x_n-4$

$\Leftrightarrow x_{n+1}^2-x_nx_{n+1}+2x_{n+1}-3x_n+2=0$

$\Leftrightarrow (x_{x+1}-x_n)(x_{n+1}+2)=x_n-2$

$\Leftrightarrow (x_{n+1}-x_n)(x_{n+1}^2-4)=(x_n-2)(x_{n+1}-2)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x_{n+1}^2-4}=\frac{x_{n+1}-x_n}{(x_n-2)(x_{n+1}-2)}=\frac{1}{x_n-2}-\frac{1}{x_{n+1}-2}$

$\Rightarrow S_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{x_{k+1}^2-4}=\frac{1}{x_1-2}-\frac{1}{x_{n+1}-2}=10-\frac{1}{x_{n+1}-2}$

Vì $x_{n+1}\rightarrow +\infty$

Vậy $\lim_{n\rightarrow +\infty }S_{n}=10$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 04-08-2015 - 16:29