Chủ đề này có 5 trả lời

[O0NgocDuy0O]

Cho $a,b,c$ không âm thoả $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 29-06-2015 - 09:14

[Truong Gia Bao]

Cho $a,b,c$ không âm thoả $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}.$

Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số ko âm :

$a+b\geq 2\sqrt{ab}; b+c\geq 2\sqrt{bc}; c+a\geq 2\sqrt{ca}$

Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta thu được $2(a+b+c)\geq 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$=>ĐPCM.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

[Dinh Xuan Hung]

Cho $a,b,c$ không âm thoả $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}.$

BĐT này luôn đúng với mọi $a,b,c$ không âm mà bạn cần gì $a+b+c=3$
Từ $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0 <=> a+b\geq 2\sqrt{ab}$
CMTT rồi suy ra $2(\sum a)\geq 2(\sum \sqrt{ab}) <=> \sum a \geq \sum \sqrt{ab}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 28-06-2015 - 21:28

[O0NgocDuy0O]

BĐT này luôn đúng với mọi $a,b,c$ không âm mà bạn cần gì $a+b+c=3$
Từ $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0 <=> a+b\geq 2\sqrt{ab}$
CMTT rồi suy ra $2(\sum a)\geq 2(\sum \sqrt{ab}) <=> \sum a \geq \sum \sqrt{ab}$

Dạ em nhầm đề, mới sửa lại rồi anh!!!

[Hoang Long Le]

Cho $a,b,c$ không âm thoả $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$.

 Áp dụng AM-GM ta có :

 $\sqrt{a}+\sqrt{a}+a^2\geq 3a$

 $\Rightarrow 2\left ( \sqrt a+\sqrt b+\sqrt c \right )+a^2+b^2+c^2\geq 3(a+b+c)=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

 $\Rightarrow \sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+bc+ca$

[marcoreus101]

Cho $a,b,c$ không âm thoả $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$.

Russia MO 2002