Chủ đề này có 2 trả lời

[E. Galois]

 Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+\infty)\to (0;+\infty)$ sao cho $$\frac{f(x)+f(y)}{\sqrt{f(xy)}}=\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\forall x,y\in (0;+\infty).$$

Đề thi chọn HSG QG Tỉnh Quảng Trị năm học 2014 - -2015

[Hoang Tung 126]

 Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+\infty)\to (0;+\infty)$ sao cho $$\frac{f(x)+f(y)}{\sqrt{f(xy)}}=\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\forall x,y\in (0;+\infty).$$

Đề thi chọn HSG QG Tỉnh Quảng Trị năm học 2014 - -2015

-Chọn $x=y=1= > \frac{f(1)+f(1)}{\sqrt{f(1)}}=\frac{1+1}{\sqrt{1}}= > \frac{2f(1)}{\sqrt{f(1)}}=2= > f(1)=\sqrt{f(1)}= > f(1)=1$

   (Do hàm $f:(0,+\infty )\rightarrow (0,+\infty )$  nên $f(1)$ khác $0$)

 

- Chọn $y=1$ và áp dụng $f(1)=1$

 

 $= > \frac{f(x)+f(1)}{\sqrt{f(x)}}=\frac{x+1}{\sqrt{x}}= > \frac{f(x)+1}{\sqrt{f(x)}}=\frac{x+1}{\sqrt{x}}= > \sqrt{f(x)}-\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{f(x)}}= > (\sqrt{f(x)}-\sqrt{x})(1-\frac{1}{\sqrt{xf(x)}})=0$

 

 Do đó $f(x)=x$ hoặc $f(x)=\frac{1}{x}$ .Thử lại ta thấy thỏa mãn bài toán

[Juliel]

-Chọn $x=y=1= > \frac{f(1)+f(1)}{\sqrt{f(1)}}=\frac{1+1}{\sqrt{1}}= > \frac{2f(1)}{\sqrt{f(1)}}=2= > f(1)=\sqrt{f(1)}= > f(1)=1$

   (Do hàm $f:(0,+\infty )\rightarrow (0,+\infty )$  nên $f(1)$ khác $0$)

 

- Chọn $y=1$ và áp dụng $f(1)=1$

 

 $= > \frac{f(x)+f(1)}{\sqrt{f(x)}}=\frac{x+1}{\sqrt{x}}= > \frac{f(x)+1}{\sqrt{f(x)}}=\frac{x+1}{\sqrt{x}}= > \sqrt{f(x)}-\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{f(x)}}

$= > (\sqrt{f(x)}-\sqrt{x})(1-\frac{1}{\sqrt{xf(x)}})=0$

 

 Do đó $f(x)=x$ hoặc $f(x)=\frac{1}{x}$ .Thử lại ta thấy thỏa mãn bài toán

Lời giải thiếu rồi. Từ khúc màu đỏ chưa thể suy ra tồn tại hai hàm như vậy được.

Có thể bổ sung tiếp như sau :

 

Ta thấy hai hàm $f(x)\equiv x,f(x)\equiv \dfrac{1}{x}$ thoả đề.

Ta chứng minh đây là hai hàm duy nhất thoả đề. Thật vậy, giả sử tồn tại các số dương $a,b \neq 1$ sao cho $f(a)=a,f(b)=\dfrac{1}{b}$. Trong $(1)$ cho $x=a,y=b$ :

$$\frac{a+1/b}{\sqrt{f(ab)}}=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\Rightarrow f(ab)=\frac{(ab+1)^2a}{b(a+b)^2}$$

Nếu mà $f(ab)=ab$ thì :

$$\frac{(ab+1)^2.a}{b(a+b)^2}=ab\Leftrightarrow \frac{ab+1}{a+b}=b\Leftrightarrow b=1$$

Mâu thuẫn.

Còn nếu $f(ab)=\dfrac{1}{ab}$ thì :

$$\dfrac{(ab+1)^2a}{b(a+b)^2}=\dfrac{1}{ab}\Leftrightarrow \dfrac{ab+1}{a+b}=\dfrac{1}{a}\Leftrightarrow a=1$$

Cũng mâu thuẫn.

Tóm lại là chỉ có hai nghiệm hàm như trên thoả mãn đề ra