Chủ đề này có 2 trả lời

[maythatyeuduoishit]

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}2x+1=y^3+y^2+y & & \\ 2y+1=z^3+z^2+z & & \\ 2z+1=x^3+x^2+x & & \end{matrix}\right.$

[vda2000]

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}2x+1=y^3+y^2+y & & \\ 2y+1=z^3+z^2+z & & \\ 2z+1=x^3+x^2+x & & \end{matrix}\right.$

Trử $2$ phương trình đầu vế theo vế được:

$2(x-y)=(y-z)(y^2+yz+z^2+y+z+1)$

Ta có: $y^2+yz+z^2\geq\frac{3}{4}(y+z)^2$

Suy ra: $y^2+yz+z^2+y+z+1\geq\frac{3}{4}(y+z)^2+(y+z)+1>0$ ( Dễ dàng chứng minh)

Do đó, $y^2+yz+z^2+y+z+1>0$

Xét: $y>z$ thì: $y-z>0$

Do đó, $2(x-y)>0$ nên: $x>y$

Từ $x>y$ thì pt thứ $3$ và $1$ lại suy ra: $z>x$

Ta có: $x>y>z>x$ Vô lí

Xét: $y<z$ tương tự

Do đó, $y=z$ thay vào được: $x=y=z$

Giải phương trình: $x^3+x^2-x-1=0$

[nguyenhongsonk612]

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}2x+1=y^3+y^2+y & & \\ 2y+1=z^3+z^2+z & & \\ 2z+1=x^3+x^2+x & & \end{matrix}\right.$

Lời giải

Có một cách giải khác cũng khá hay

Đặt $f(t)=t^3+t^2+t$ với $t\in \mathbb{R}$

Với $t_1 \neq t_2$ ta có

$\frac{f(t_1)-f(t_2)}{t_1-t_2}=t_1^2+t_2^2+t_1t_2+t_1+t_2+1$

$=(t_1+t_2)^2+(t_1+t_2)-t_1t_2+1\geq (t_1+t_2)^2+(t_1+t_2)-\frac{(t_1+t_2)^2}{4}+1=\frac{3}{4}(t_1+t_2)^2+(t_1+t_2)+1> 0$

$\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Hệ pt trở thành $\left\{\begin{matrix} 2x+1=f(y) & & \\ 2y+1=f(z) & & \\ 2z+1=f(x) & & \end{matrix}\right.$

Do vai trò của $x,y,z$ là như nhau nên không mất tính tổng quát

Giả sử $x=\max \begin{Bmatrix} x;y;z \end{Bmatrix}$

$\Rightarrow f(x)\geq f(y)\Leftrightarrow z\geq x\Rightarrow z=x$

Khi $z=x$ thì $f(z)=f(x)$ mà $f(x)\geq f(y)$

$\Rightarrow f(z)\geq f(y)\Leftrightarrow y\geq x\Rightarrow x=y$

Vậy ta có $x=y=z$