Bài toán (Austrian-Polish 1999). Tìm tất cả các bộ số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn :
$$x^{x+y}=y^{y-x}$$
Bài toán (Austrian-Polish 1999). Tìm tất cả các bộ số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn :
$$x^{x+y}=y^{y-x}$$
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
Giả sử $(x,y)=d$, khi đó $x=ad, y=bd$ và $(a,b)=1$ nên ta được: $a^{a+b}d^{2a}=b^{b-a}$ nên $b^{b-a}\vdots a^{a+b}\vdots a$ nên $a=1$
Do đó $b^{b-1}=d^{2}$ nên hoặc $b$ là số lẻ hoặc $b$ là số chính phương.
Nếu $b=2k+1$ thì $d=(2k+1)^k$
Nếu $b=k^2$ thì $d=k^{k^2-1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 09-07-2015 - 19:37
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh